Hva er komplekse tall?
Det finnes ingen reelle tall som løser likningen . Hverken positive eller negative tall har egenskapen at produktet av tallet med seg selv blir negativt. For å ta kvadratrøtter av negative tall har matematikere innført noe som heter komplekse tall. Komplekse tall er bygget opp rundt den imaginære enheten :
Teori
Imaginære tall
Den imaginære enheten er definert som .
Imaginære tall er multiplum av den imaginære enheten. Ethvert imaginært tall kan skrives som
der .
Et komplekst tall består av to deler: En realdel og en imaginærdel. Realdelen til et komplekst tall er et reelt tall som finnes på den reelle tallinjen. Imaginærdelen til et komplekst tall er bygget opp med den imaginære enheten . Når du skriver komplekse tall, kan du velge å dele opp tallet i realdel og imaginærdel. Da er tallet skrevet på kartesisk form, i motsetning til polarform.
Teori
Kartetisk form
På kartesisk form kan komplekse tall skrives på formen
der . Her er realdelen til , og er imaginærdelen til .
Realdelen til et komplekst tall betegnes ofte med . Imaginærdelen betegnes ofte med . Mengden av alle komplekse tall kalles .
Eksempel 1
Finn og for det komplekse tallet
Realdelen til et komplekst tall er alltid tallet som står uten . Her er .
Imaginærdelen til et komplekst tall er alltid tallet som står sammen med . Merk at er ikke en del av tallets imaginærdel. Her er .
Både imaginære tall og reelle tall er inneholdt i mengden av komplekse tall. Imaginære tall kan betraktes som komplekse tall uten realdel, og reelle tall kan betraktes som komplekse tall uten imaginærdel. Mengden av komplekse tall inneholder derfor mengden av reelle tall.
Tenk på dette
Til tross for navnet imaginære tall, er de ikke mer kunstige enn for eksempel negative tall. Komplekse og imaginære tall har store bruksområder innenfor mange grener av matematikk og naturvitenskap.
