Sluttverdier og tidslinjer

I økonomi er det viktig å snakke om sluttverdier, siden verdien av en pengestrøm endrer seg over tid. $1$ kr i dag er ikke verdt nøyaktig like mye som $1$ kr om ett år. Inflasjon og den generelle økonomiske utviklingen i verden er med på å påvirke verdien til en pengestrøm. Det er derfor viktig at du tenker på dette når du ser på pengestrømmer i ulike perioder.

Teori

Sluttverdi

Når det er snakk om sluttverdier beskriver du hvor mye en pengestrøm er verdt en gang i fremtiden. Sluttverdier er ofte tilknyttet sparing og avbetaling, og har kvotient

k = vekstfaktor = {(1 + \frac{p}{100})}^{n}

Sluttverdien $K_{n}$ av et beløp $K_{0}$ som skal benyttes om $n$ tidsperioder er gitt ved:

K_{n} = K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{n},

hvor $p$ er renten i prosent.

Eksempel 1

Gitt at du setter $50 000 kr$ i et fond som garanterer $7, 5 %$ årlig avkastning de neste 20 årene. Hvor mye har du i banken om 20 år?

K_{n} = 50 000 \cdot {(1 + \frac{7, 5}{100})}^{20} = 212 392, 60 kr

Altså, dersom du setter $50 000$ kr i banken i dag har du $212 392, 60$ kr om 20 år ved $7, 5$ % rente.

Avbetaling og sparing

Når du skal regne på avbetaling og sparing er det svært lurt å tegne tidslinjer. En tidslinje hjelper deg å finne hvor mange perioder pengene forrentes. Her kommer et eksempel på sluttverdi ved sparing.

Eksempel 2

Hvor mye kommer du til å ha i banken dersom du sparer $1000 kr$ i måneden i 15 år? Du bestemmer deg for å sette inn et årlig beløp og renten er $4, 7 %$ .

I denne typen oppgaver er det svært lurt å bruke tidslinjer! Men, først må du finne ut hvor mye dette er i året:

1000 \cdot 12 = 12 000 kr

Da blir tidslinjen som følger:

Tidslinje som viser sluttverdien til de årlige innskuddene

Dette gir den geometriske rekken:

\begin{array}{l} 12 000 & \cdot 1, 047 + 12 000 \cdot 1, 04 7^{2} \\ + \dots + 12 000 \cdot 1, 04 7^{15}, \end{array}

12 000 \cdot 1, 047 + 12 000 \cdot 1, 04 7^{2} + \dots + 12 000 \cdot 1, 04 7^{15},

med

a_{1} = 12 000 \cdot 1, 047, k = 1, 047, n = 15 .

a_{1} = 12 000 \cdot 1, 047, k = 1, 047, n = 15 .

Dermed kan du sette tallene rett inn i formelen for summen av en geometrisk rekke:

\begin{array}{l} S_{15} & = (12 000 \cdot 1, 047) \cdot \frac{1, 04 7^{15} - 1}{1, 047 - 1} \\ = 265 071, 3 kr \end{array}

S_{15} = (12 000 \cdot 1, 047) \cdot \frac{1, 04 7^{15} - 1}{1, 047 - 1} = 265 071, 3 kr

Altså, på 15 år sparer du

265 071, 30

kr. Dersom du ikke hadde fått renter ville du ha spart

12 000 \cdot 15 = 180 000 kr

. Rentefortjenesten er dermed

265 071, 30 kr - 180 000 kr = 85 071, 30 kr .

Ganske kult!

Eksempel 3

01.01.2015 opprettet Siv Jensen en sparekonto med rentefot på $4, 5 %$ og satte inn $10 000 kr$ . Hun skal fortsette å sette inn $10 000 kr$ i starten av hvert år.

Deloppgave – Siv ønsker å fortsette å spare til hun har $250 000 kr$ . Hvor mange år må Siv spare før hun har $250 000 kr$ på kontoen, gitt at renten holder seg uendret på $4, 5 %$ ?

Dette gir den geometriske rekken

\begin{array}{l} 10 000 & \cdot 1, 045 + 10 000 \cdot 1, 04 5^{2} \\ + \dots + 10 000 \cdot 1, 04 5^{n} . \end{array}

10 000 \cdot 1, 045 + 10 000 \cdot 1, 04 5^{2} + \dots + 10 000 \cdot 1, 04 5^{n} .

Den geometriske rekken kan også uttrykkes i en tidslinje

Tidslinje som viser sluttverdien til de årlige innskuddene over n år

Her er $a_{1} = 10 000 \cdot 1, 045$ og $k = 1, 045$ . Sluttsummen er gitt, $S_{n} = 250 000$ . Tallet $n$ er ukjent, og det er denne du må finne. Da må du bruke formelen for summen av en geometrisk rekke, og løse med hensyn på $n$ . Svaret vil bli hvor mange år Siv trenger å spare for å få den ønskede sluttsummen.

\begin{array}{l} S_{n} & = a_{1} \frac{k^{n} - 1}{k - 1} \\ 250 000 & = 10 000 \cdot 1, 045 \cdot \frac{1, 04 5^{n} - 1}{1, 045 - 1} \end{array}

Denne likningen skriver du med et digitalt hjelpemiddel, for eksempel CAS i GeoGebra. Da ender du opp med $n = 16, 6$ . Dette betyr at Siv Jensen må spare i 17 år før hun har fått $250 000$ kr på sparekontoen sin.

Deloppgave – Siv Jensen ønsker kun å spare i 15 år før hun har $250 000 kr$ på konto. Rentefoten er fortsatt det samme, $4, 5 %$ . Hvor stort innskudd må Siv sette inn i starten av hvert år nå, om hun skal få $250 000 kr$ på 15 år?

Dette kan skrives som den geometrisk rekken

\begin{array}{l} x \cdot 1, 045 + x \cdot 1, 04 5^{2} + \dots \\ + x \cdot 1, 04 5^{14} + x \cdot 1, 04 5^{15}, \end{array}

x \cdot 1, 045 + x \cdot 1, 04 5^{2} + \dots + x \cdot 1, 04 5^{14} + x \cdot 1, 04 5^{15},

Som også kan uttrykkes ved tidslinjen

Tidslinje som viser sluttverdien til årlige innskudd av x kroner over 15 år

Nå er det innskuddet, du kaller det $x$ , som er ukjent. Dermed får du at

\begin{array}{l} a_{1} & = x \cdot 1, 045, k = 1, 045, \\ n = 15, S_{n} = 250 000 . \end{array}

a_{1} = x \cdot 1, 045, k = 1, 045, n = 15, S_{n} = 250 000 .

Du bruker samme formel som i forrige deloppgave, bare at du nå må løse for

x

\begin{array}{l} S_{n} & = a_{1} \frac{k^{n} - 1}{k - 1} \\ 250 000 & = x \cdot 1, 045 \cdot \frac{1, 04 5^{15} - 1}{1, 045 - 1} \end{array}

Løser du denne med et digitalt hjelpemiddel får du at Siv Jensen må sette inn ca. $11 510, 50$ kr på sparekontoen i starten av hvert år for å få $250 000$ kr på konto på 15 år.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Nåverdier og tidslinjer

Neste oppslag

Sammensatte eksempler om rekker

Tilbake