>Рівняння>Що таке Основна теорема алгебри?

Що таке Основна теорема алгебри?

Кульмiнацiєю математичної теорiї комплексних чисел є Основна теорема алгебр. Як випливає з назви, Основна теорема алгебри — це важливий математичний принцип. Причина цього полягає в тому, що ця теорема гарантує, що всi алгебраїчнi рiвняння з комплексними коефiцiєнтами мають розв’язки. Алгебраїчне рiвняння — це рiвняння виду $f (x) = g (x)$ , де $f (x)$ та $g (x)$ є многочленами.

Правило

Основна теорема алгебри

Нехай $f_{n} (z)$ — це комплексний многочлен

c_{n} z^{n} + c_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + c_{1} z + c_{0}

$n$ -го степеня з коефiцiєнтами $c_{n}, c_{n - 1}, \dots, c_{1}, c_{0} \in ℂ$ . Тодi iснують комплекснi числа $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n} \in ℂ$ такi, що

f_{n} (z) = c_{n} (z - r_{1}) \dots (z - r_{n}) .

f_{n} (z) = c_{n} (z - r_{1}) (z - r_{2}) \dots (z - r_{n}) .

Основна теорема алгебри стверджує, що функцiя $f_{n} (z)$ має $n$ однозначно визначених нулiв функцiї $r_{1}, r_{2}, \dots r_{n} \in ℂ$ . Нулi $f_{n} (z)$ також називаються коренями $f_{n} (z)$ . Це значення слова «корiнь» не треба плутати з коренями $n$ -го степеня з комплексних чисел. Навiть якщо $f_{n} (z)$ має $n$ однозначно визначених коренiв, це не означає, що всi нулi $f_{n} (z)$ унiкальнi.

Коренi з $f_{n} (z)$ , що зустрiчаються бiльше нiж один раз, мають кратнiсть понад 1. Кратнiсть кореня $n$ -го степеня — це мiра того, скiльки разiв $(z - r)$ можна винести за дужки з $f_{n} (z)$ . Отже, правильне тлумачення Основної теореми алгебри полягає в тому, що $f_{n} (z)$ має $n$ рiзних коренiв, пiдрахованих iз кратнiстю. Основна теорема алгебри гарантує, що всi многочлени $n$ -го степеня можна розкласти на $n$ лiнiйних комплексних множникiв.

Доведення Основної теореми для квадратних многочленiв

Для квадратного многочлена $f_{2} (z) = a z^{2} + b z + c$ Основна теорема алгебри стверджує, що $f_{2} (z)$ можна розкласти на множники й записати у виглядi $f_{2} (z) = (z - r_{1}) (z - r_{2})$ , де $r_{1}$ i $r_{2}$ — це коренi $f_{2} (z)$ . Можна знайти коренi $f_{2} (z)$ , використовуючи формулу коренiв квадратного рiвняння

z = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Незалежно вiд того, дискримiнант додатний чи вiд’ємний, формула коренiв квадратного рiвняння дає два рiзнi коренi, тому не потрiбно розглядати цi випадки. Однак, якщо дискримiнант дорiвнює рiвно $0$ , формула коренiв квадратного рiвняння дає тiльки один розв’язок. Щоб довести Основну теорему алгебри для квадратних многочленiв, потрiбно показати, що якщо $f_{2} (z)$ має один корiнь $r$ , то $f_{2} (z)$ можна двiчi подiлити на $(z - r)$ . Це означало б, що всi квадратнi многочлени можна розкласти на множники в спосiб, який описує Основна теорема алгебри.

Можна знайти розв’язки рiвняння $f_{2} (z) = 0$ , використовуючи формулу коренiв квадратного рiвняння. Це означає, що можна манiпулювати формулою коренiв квадратного рiвняння, щоб вiдновити вираз $f_{2} (z) = 0$ , видiливши нуль по один бiк вiд знака рiвностi.

z = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Додавши $\frac{b}{2 a}$ до обидвох бокiв вiд знака рiвностi:

z + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Пiднiсши обидва боки до квадрата:

{(z + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} .

Вiднявши $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ вiд обидвох бокiв:

{(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} = 0 .

Тепер можна записати $f_{2} (z)$ у виглядi

f_{2} (z) = {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} .

Якщо $b^{2} - 4 a c = 0$ , то квадратний многочлен набуває вигляду

\begin{array}{l} f_{2} (z) & = {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \\ = {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} . \end{array}

Коренем цього многочлена є $r = - \frac{b}{2 a}$ . Як стверджує Основна теорема алгебри, множник iз цим коренем зустрiчається двiчi в разi розкладання на множники $f_{2} (z)$ : $\begin{array}{l} f_{2} (z) & = {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} \\ = (z + \frac{b}{2 a}) (z + \frac{b}{2 a}) . \end{array}$

Оскiльки в разi розкладання на множники корiнь зустрiчається двiчi, вiн називається подвiйним коренем iз $f_{2} (z)$ . Усi квадратнi многочлени можна записати як добуток двох лiнiйних множникiв. Це також справджується, якщо рiвняння $f_{2} (z) = 0$ має лише один розв’язок. Отже, доведено Основну теорему алгебри для квадратних рiвнянь.

Q.E.D

Зверни увагу! Щоб довести Основну теорему алгебри цiлком, потрiбнi значно глибшi математичнi знання.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як розкласти многочлени на множники над полем комплексних чисел

Повернутися