>Рівняння>Як розкласти многочлени на множники над полем комплексних чисел

Як розкласти многочлени на множники над полем комплексних чисел

У статтi про квадратнi рiвняння з комплексними коефiцiєнтами показано, що всi квадратнi рiвняння мають два комплекснi розв’язки. Це означає, що всi квадратнi многочлени можна розкласти на множники як добуток двох комплексних лiнiйних многочленiв.

Правило

Розкладання на множники квадратних многочленiв

Будь-який квадратний многочлен

f (z) = a z^{2} + b z + c

можна записати як

f (z) = (z - r_{1}) (z - r_{2}),

де $r_{1}, r_{2} \in ℂ$ — це комплекснi розв’язки $f (z) = 0$ .

Щоб розкласти на множники квадратний многочлен

f (z)

, треба розв’язати рiвняння

f (z) = 0

за допомогою формули коренiв квадратного рiвняння. Розв’язки

f (z) = 0

називаються нулями функцiї

f (z)

або коренями з функцiї

f (z)

. Тут слово «коренi» з

f (z)

— у контекстi нулiв функцiї

f (z)

— не треба плутати з коренями

n

-го степеня з комплексних чисел.

Якщо для рiвняння $f (z) = 0$ отримано один розв’язок $r$ , ми кажемо, що $r$ є коренем $f (z)$ iз кратнiстю 2. Кратнiсть $r$ — це мiра того, скiльки разiв $f (z)$ можна подiлити на $(z - r)$ . Розкладання на множники алгебраїчних виразiв набуває двох форм: розкладання на множники над полем дiйсних чисел i розкладання на множники над полем комплексних чисел. Для розкладання на множники над полем дiйсних чисел вираз записується як добуток множникiв тiльки з дiйсними коефiцiєнтами. Для розкладання на множники над полем комплексних чисел вираз записується як добуток множникiв, що охоплюють як дiйснi, так i комплекснi коефiцiєнти.

Правило

Розкладання на множники над полями дiйсних чисел i комплексних чисел

Для розкладання на множники над полем комплексних чисел всi множники мають степiнь 1. Множники можуть мати як дiйснi, так i комплекснi коефiцiєнти.
Для розкладання на множники над полем дiйсних чисел множники мають степiнь 1 або 2. Квадратнi множники мають лише комплекснi коренi. Множники мають лише дiйснi коефiцiєнти.

Приклад 1

Виконай розкладання над полем комплексних чисел виразу
$f (z) = z^{2} + i z + 2$

Треба записати вираз у виглядi $f (z) = (z - r_{1}) (z - r_{2})$ , де $r_{1}$ та $r_{2}$ — це розв’язки рiвняння $f (z) = 0$ . Розв’яжемо це рiвняння, використовуючи формулу коренiв квадратного рiвняння, де $a = 1$ , $b = i$ та $c = 2$ — це коефiцiєнти:

\begin{array}{l} z & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = \frac{- i \pm \sqrt{- 1 - 8}}{2} \\ = \frac{- i \pm 3 i}{2} . \end{array}

Отже, розв’язками рiвняння $f (z) = 0$ є $z_{1} = - 2 i$ та $z_{2} = i$ . Розкладанням $f (z)$ над полем комплексних чисел має такий вигляд:

f (z) = (z + 2 i) (z - i) .

Використовуючи комплекснi числа, можна не тiльки розкласти квадратнi многочлени на два лiнiйнi множники. Вiдповiдно до Основної теореми алгебри також можна розкласти вирази $n$ -го степеня на $n$ лiнiйних множникiв, пiдрахованих iз кратнiстю. Множники, що «пiдраховуються з кратнiстю», означає, що множники можуть зустрiчатися понад один раз.

Щоб знайти всi множники комплексних многочленiв вищого степеня, можна, наприклад, скористатися дiленням многочленiв у стовпчик.

Приклад 2

Доведи, що $z = 1$ — це корiнь многочлена

f (z) = z^{3} - 7 z^{2} + 31 z - 25

та виконай як розкладання над полем дiйсних чисел, так i розкладання над полем комплексних чисел $f (z)$

Якщо $z = 1$ є коренем $f (z)$ , то $f (1) = 0$ :

\begin{array}{l} f (1) & = 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 31 \cdot 1 - 25 \\ = 0 . \end{array}

f (1) = 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 31 \cdot 1 - 25 = 0 .

Оскiльки

z = 1

є коренем многочлена, нам вiдомо, що розв’язок дiлення в стовпчик многочлена

f (z) : (z - 1)

має 0 в остачi:

Дiлення в стовпчик многочлена f(z) на z - 1

Результат дiлення многочлена в стовпчик дорiвнює $z^{2} - 6 z + 25$ . Цей квадратний многочлен можна додатково розкласти на множники, розв’язавши таке рiвняння:

z^{2} - 6 z + 25 = 0

Застосувавши формулу коренiв квадратного рiвняння, отримаємо

\begin{array}{l} z & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 100}}{2} \\ = \frac{6 \pm 8 i}{2} \\ = 3 \pm 4 i . \end{array}

Тепер маємо три розв’язки рiвняння $f (z) = 0$ . Оскiльки $f (z)$ — це кубiчний многочлен, вiдомо, що не може бути бiльше нiж три коренi. Оскiльки розв’язки $z^{2} - 6 z + 25 = 0$ — це комплекснi числа, неможливо розбити $z^{2} - 6 z + 25$ на множники з дiйсними коефiцiєнтами. Отже, розкладання над полем дiйсних чисел $f (z)$ має такий вигляд:

f (z) = (z - 1) (z^{2} - 6 z + 25) .

Крiм того, можна використати всi коренi, щоб записати розкладання $f (z)$ над полем комплексних чисел:

(z - 1) (z - (3 - 4 i)) (z - (3 + 4 i)) .

f (z) = (z - 1) (z - (3 - 4 i)) (z - (3 + 4 i)) .

Приклад 2 показав, що недiйснi коренi многочлена зустрiчаються у виглядi комплексно-спряженої пари. Це не випадковiсть. У всiх дiйсних многочленiв коренi зустрiчаються у виглядi пари. Дiйснi многочлени — це многочлени, що мають тiльки дiйснi коефiцiєнти.

Правило

Нехай $r \in ℂ ∖ ℝ$ — це недiйсний корiнь дiйсного многочлена $f (z)$ . Тодi спряжене число $\overset{}{r} \in ℂ$ також є коренем $f (z)$ .

Приклад 3

Доведи, що $r = 1 + i$ є коренем многочлена
$f (z) = z^{2} - 2 z + 2$

та виконай розкладання над полем комплексних чисел $f (z)$

Можна показати, що $r = 1 + i$ є коренем $f (z)$ , пiдтвердивши, що $f (r) = 0$ : $\begin{array}{l} f (r) & = {(1 + i)}^{2} - 2 (1 + i) + 2 \\ = 1 + 2 i + i^{2} - 2 - 2 i + 2 \\ = 1 + 2 i - 1 - 2 - 2 i + 2 \\ = 0 . \end{array}$

Оскiльки $f (z)$ — це дiйсний многочлен, нам також вiдомо, що $\overset{}{r} = 1 - i$ — це корiнь $f (z)$ . Отже, розкладання над полем комплексних чисел $f (z)$ має такий вигляд:

\begin{array}{l} f (z) & = (z - r) (z - \overset{}{r}) \\ = (z - (1 + i)) (z - (1 + i)) . \end{array}

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як розв’язувати квадратні рівняння з комплексними коефіцієнтами

Наступна стаття

Що таке Основна теорема алгебри?

Повернутися