Як розв’язувати квадратні рівняння з комплексними коефіцієнтами

Пiд час розв’язування квадратних рiвнянь з використанням формули коренiв квадратного рiвняння, iнколи отримуємо вiд’ємне значення пiд квадратним коренем. У таких випадках рiвняння не має дiйсних розв’язкiв.

Але тепер, коли ми працюємо з комплексними числами, можемо знайти всi розв’язки квадратних рiвнянь. Причина цього полягає в тому, що уявну одиницю i можна використати для знаходження комплексних розв’язкiв формули коренiв квадратного рiвняння.

Правило

Квадратнi рiвняння з комплексними коефiцiєнтами

Нехай a,b,c — це комплекснi числа з a0. Тодi az2 + bz + c = 0 має такi розв’язки:

z = b ±b2 4ac 2a .

Якщо вираз b2 4ac вiд’ємний, потрiбно використати уявну одиницю i, щоб знайти розв’язки.

Приклад 1

Розв’яжи рiвняння z2 4z + 5 = 0 вiдносно z

Нам вiдомо, що коефiцiєнтами рiвняння є a = 1, b = 4 та c = 5. Це означає, що для знаходження розв’язкiв можна використати формулу коренiв квадратного рiвняння:

z = b ±b2 4ac 2a = (4) ± (4 ) 2 4 1 5 2 1 = 4 ±4 2 .

Оскiльки маємо вiд’ємне число, що стоїть пiд знаком квадратного кореня, рiвняння не має дiйсних розв’язкiв. Однак, використовуючи уявну одиницю, все-таки можна знайти комплекснi розв’язки:

4 = (4 ) (1) = 41 = 2i.

4 = (4 ) (1) = 41 = 2i.

Отже, остаточнi розв’язки рiвняння такi:

z = 4 ±4 2 = 4 ± 2i 2 = 2 ± i z1 = 2 + iandz2 = 2 i.

Зверни увагу! Щоб розв’язати Приклад 1, ми використали таке спiввiдношення:

4 = (4 ) (1) = 41 = 2i.

Це спiввiдношення загалом не справджується для комплексних чисел. Використання цього спiввiдношення для комплексних чисел може спричинити невiдповiдностi. Нижче наведено приклад таких невiдповiдностей:

1 = i i = 1 1 = 1 1 = 1 = 1.

1 = i i = 1 1 = 1 1 = 1 = 1.

Причина, через яку це обчислення призводить до суперечностi, полягає в тому, що 1 11 1. Правило, яке стверджує, що ab = ab справджується лише, якщо обидва a та b — це додатнi числа.

Використовуючи формулу коренiв квадратного рiвняння, можна розв’язувати квадратнi рiвняння з комплексними коефiцiєнтами. У цих випадках тобi знадобляться певнi знання про добування коренiв з комплексних чисел, щоб спростити вираз, що стоїть пiд знаком квадратного кореня.

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння 1 2z2 + iz + 3 2 i = 0 вiдносно z

Бачимо, що коефiцiєнтами є a = 1 2, b = i та c = 3 2 i. Це означає, що можна скористатися формулою коренiв квадратного рiвняння, щоб знайти розв’язки:

z = b ±b2 4ac 2a = i ±i2 4 1 2 3 2 i 2 1 2 = i ±1 3 i.

Усi комплекснi числа w мають два квадратнi коренi. У цьому прикладi потрiбно лише розглянути корiнь, аргумент якого лежить в iнтервалi [0,π). Причина цього полягає в тому, що обидва розв’язки включенi до ±w.

Щоб добути квадратний корiнь iз w = 1 3i, спочатку потрiбно записати w у тригонометричнiй формi. У цьому прикладi норма w дорiвнює r = 2, а аргумент дорiвнює 𝜃 = 4π 3 . Отже, тригонометрична форма запису цього комплексного числа виглядає так: w = 2ei4π 3 . Тепер можна знайти квадратний корiнь w, добувши квадратний корiнь iз норми w та подiливши аргумент w на 2. Тож квадратний корiнь w становить 2ei2π 3 . В алгебраїчнiй формi квадратний корiнь записується як 2 2 + 6 2 i. Отже, розв’язки рiвняння такi:

z = i ±(2 2 + 6 2 i) z1 = 2 2 + (6 2 1) i

та

z2 = 2 2 + (6 2 1) i.

z = i ±(2 2 + 6 2 i) z1 = 2 2 + (6 2 1) iтаz2 = 2 2 + (6 2 1) i.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!