Пiд час розв’язування квадратних рiвнянь з використанням формули коренiв квадратного рiвняння, iнколи отримуємо вiд’ємне значення пiд квадратним коренем. У таких випадках рiвняння не має дiйсних розв’язкiв.
Але тепер, коли ми працюємо з комплексними числами, можемо знайти всi розв’язки квадратних рiвнянь. Причина цього полягає в тому, що уявну одиницю можна використати для знаходження комплексних розв’язкiв формули коренiв квадратного рiвняння.
Правило
Нехай — це комплекснi числа з . Тодi має такi розв’язки:
Якщо вираз вiд’ємний, потрiбно використати уявну одиницю , щоб знайти розв’язки.
Приклад 1
Розв’яжи рiвняння вiдносно
Нам вiдомо, що коефiцiєнтами рiвняння є , та . Це означає, що для знаходження розв’язкiв можна використати формулу коренiв квадратного рiвняння:
Оскiльки маємо вiд’ємне число, що стоїть пiд знаком квадратного кореня, рiвняння не має дiйсних розв’язкiв. Однак, використовуючи уявну одиницю, все-таки можна знайти комплекснi розв’язки:
Зверни увагу! Щоб розв’язати Приклад 1, ми використали таке спiввiдношення:
Це спiввiдношення загалом не справджується для комплексних чисел. Використання цього спiввiдношення для комплексних чисел може спричинити невiдповiдностi. Нижче наведено приклад таких невiдповiдностей:
Використовуючи формулу коренiв квадратного рiвняння, можна розв’язувати квадратнi рiвняння з комплексними коефiцiєнтами. У цих випадках тобi знадобляться певнi знання про добування коренiв з комплексних чисел, щоб спростити вираз, що стоїть пiд знаком квадратного кореня.
Приклад 2
Розв’яжи рiвняння вiдносно
Бачимо, що коефiцiєнтами є , та . Це означає, що можна скористатися формулою коренiв квадратного рiвняння, щоб знайти розв’язки:
Усi комплекснi числа мають два квадратнi коренi. У цьому прикладi потрiбно лише розглянути корiнь, аргумент якого лежить в iнтервалi . Причина цього полягає в тому, що обидва розв’язки включенi до .
Щоб добути квадратний корiнь iз , спочатку потрiбно записати у тригонометричнiй формi. У цьому прикладi норма дорiвнює , а аргумент дорiвнює . Отже, тригонометрична форма запису цього комплексного числа виглядає так: . Тепер можна знайти квадратний корiнь , добувши квадратний корiнь iз норми та подiливши аргумент на . Тож квадратний корiнь становить . В алгебраїчнiй формi квадратний корiнь записується як . Отже, розв’язки рiвняння такi:
та