Приклад 1
Сьогоднi ти береш кредит на суму i плануєш погасити його протягом 10 рокiв шляхом внесення щорiчних платежiв. Перший платiж має бути зроблений через рiк; вiдсоткова ставка складає . Знайди розмiр кожного щорiчного платежу на основi майбутньої вартостi.
Коли ми розглядали кредити з ануїтетною схемою погашення, то розв’язували подiбнi задачi за допомогою приведеної вартостi, але в цьому випадку використовуватимемо майбутню вартiсть.
Перiодичнi платежi можна виразити у виглядi геометричного ряду
Зверни увагу, що ряд складається з 10 членiв. Кожен член вiдповiдає одному щорiчному платежу; усi платежi вносяться протягом 10 рокiв. Тут , , а . Важливо пам’ятати, що сума дорiвнює не , а , адже ми повертаємо не власне суму кредиту, а суму всiх платежiв за ним. Використовуємо формулу для знаходження суми геометричного ряду й розв’язуємо рiвняння для :
Це означає, що для того, щоб погасити кредит у розмiрi $ за рокiв, тобi доведеться виплачувати щороку близько $. Додавши всi десять платежiв, ти побачиш, що муситимеш заплатити набагато бiльше, нiж $. Не вiриш? Перевiр!
Якщо порiвняти цей розв’язок iз тим, який ми отримали за допомогою приведеної вартостi, побачимо, що вони дещо вiдрiзняються. Це пов’язано з тим, що пiд час розрахункiв числа округлюються до рiзної кiлькостi знакiв пiсля коми, що дає дещо рiзнi результати.
Приклад 2
На початку року Люба планує взяти кредит у розмiрi з метою iнвестування у фонд. Кредит має ануїтетну схему погашення, тож Люба муситиме повертати банку наприкiнцi кожного року протягом 10 рокiв. Перший платiж має бути внесений через 1 рiк.
Частина 1. Показуємо, що рiчнi вiдсотки становлять .
Нам вiдомо, що сума кожного платежу становить $, а отже, Люба муситиме сплачувати цю суму щороку протягом 10 рокiв.
Перiодичнi платежi можна виразити у виглядi геометричного ряду
припустивши, що , i порахувавши вiдповiдь за допомогою калькулятора. Вираз має такий вигляд:
що, як виявляється, дорiвнює розмiру кредиту. А отже, ми показали, що розмiр вiдсоткiв рiчних становить %, адже якщо , то сума перших 10 членiв ряду дорiвнює розмiру кредиту.
Другий метод полягає в тому, щоб скласти рiвняння, в якому сума дорiвнює розмiру кредиту, а потiм розв’язати рiвняння для знаходження вiдсоткiв . Рiвняння матиме такий вигляд:
Найпростiший спосiб розв’язати рiвняння — скористатися цифровим iнструментом, як-от СКА
на GeoGebra
. Отримаємо два розв’язки:
але оскiльки вiдсоток не може бути вiд’ємним, дiйсним є лише розв’язок . А ще, як i планувалося, ми показали, що значення вiдсотка становить %.
Банк стверджує, що якщо надходження до фонду за рiк становлять рiчних, то iнвестувавши в цей фонд, Люба отримає стiйкий прибуток.
Частина 2. Визначаємо вартiсть Любиних грошей наприкiнцi -го року у фондi.
Люба вклала у фонд всi $, якi взяла у кредит. З огляду на гарантований рiчний прибуток у % протягом 10 рокiв, можемо скористатися формулою для розрахунку майбутньої вартостi, щоб знайти вартiсть коштiв у момент часу, що нас цiкавить. Формула має вигляд
де , , а . Це означає, що вартiсть грошей у фондi через рокiв становитиме
Любин чистий прибуток через 10 рокiв являтиме собою рiзницю мiж сумою погашення кредиту i вартiстю її грошей у фондi.
Частина 3. Показуємо, що Любин чистий прибуток через 10 рокiв становитиме .
Ми знаємо, що майбутня вартiсть Любиних грошей у фондi становить приблизно $, але якою буде майбутня вартiсть кредиту через рокiв? Як вiдомо, приведена вартiсть кредиту становить $ за вiдсоткової ставки %. Можемо скористатися тiєю самою формулою, щоб знайти майбутню вартiсть кредиту:
де , , а . Отже, вираз для знаходження майбутньої вартостi має вигляд
Отже, Любин чистий прибуток становитиме
Замiсть того, щоб використати кредит для iнвестування у фонд, Люба розглядає можливiсть внести цi кошти на ощадний рахунок у банку. Наприкiнцi кожного року вона вноситиме на рахунок iз фiксованими вiдсотками рiчних. Перший депозит потрiбно внести через рiк.
Частина 4. Якими мають бути вiдсотки за Любиними заощадженнями, щоб через 10 рокiв сума на її ощадному рахунку в банку дорiвнювала сумi з частини 2?
У частинi 2 ми визначили, що вартiсть Любиних грошей у фондi наприкiнцi -го року становитиме $.
Любинi заощадження можна виразити у виглядi геометричного ряду
Щоб розв’язати це рiвняння, радимо використовувати цифровий iнструмент, як-от СКА
на GeoGebra
. Отримаємо
що означає, що вiдсотки за заощадженнями мають становити щонайменше %, щоб через рокiв Люба отримала вiд них той самий прибуток, що й вiд iнвестування у фонд, за умови, що щороку вона вноситиме на рахунок $.
Приклад 3
Пiд час шопiнгу можна виявити, що для деяких речей дiє графiк платежiв. Це те саме, що позичати грошi в магазинi, але замiсть грошей ти отримуєш рiч. Через вiдсотки це завжди дорожче, нiж сплатити всю суму одразу.
Лiндсi Лоан хоче придбати ноутбук. Вона може заплатити одразу або ж виплачувати щомiсяця протягом 36 мiсяцiв. Перший платiж потрiбно внести через мiсяць пiсля придбання ноутбука. Лiндсi вирiшила обрати оплату ноутбука за графiком. З’ясуй, яку суму вiдсоткiв за мiсяць i рiк їй доведеться сплатити.
Нехай сума вiдсоткiв за мiсяць становить . Знайдемо приведену вартiсть перiодичних платежiв. З’ясувавши приведену вартiсть, зможемо побудувати геометричний ряд
Цей геометричний ряд також можна виразити у виглядi шкали часу:
Сума цього геометричного ряду є сумою, яку Лiндсi могла б сплатити наперед, — . Як бачимо, , а . Пiдставляємо цi значення у формулу знаходження суми геометричного ряду. Отримуємо
Можемо розв’язати це рiвняння за допомогою цифрового iнструменту, наприклад СКА
на GeoGebra
. Отримаємо i . Позаяк вiдсоток не може бути вiд’ємним, то розв’язок має бути . Це вiдповiдає вiдсотковiй ставцi % на мiсяць. Тодi сума вiдсоткiв на рiк становитиме
що вiдповiдає рiчнiй вiдсотковiй ставцi % на рiк.
Це свiдчить про те, що завжди дешевше платити наперед. Лiндсi заощадила б чимало грошей, якби заплатила за ноутбук одразу.