Для чого потрібні базисні вектори?

Знання базисних векторiв важливе для загального уявлення про вектори.

Чотири базиснi вектори та два вектори, розкладенi за допомогою базисних векторiв

Теорiя

Важливi поняття

  • Базис — це множина векторiв, якi в рiзних комбiнацiях утворюють решту векторiв на площинi.

  • Базисний вектор — це вектор iз цiєї множини.

Теорiя

Базисний вектор

Якщо дано два вектори, x i y, якi не є паралельними, то їх можна використовувати як базиснi вектори. Цi базиснi вектори можна помножити на будь-яке дiйсне число. Це означає, що решту векторiв на площинi можна записати як суму цих векторiв, помножену на число.

Приклад 1

Дано базиснi вектори (1,1) i (3, 4). Запиши (11, 10) за допомогою базисних векторiв.

(11, 10) = k (1,1) + l (3, 4) = (k,k) + (3l, 4l)

(11, 10) = k (1,1) + l (3, 4) = (k,k) + (3l, 4l)

k + 3l = 11 k = 11 3l k + 4l = 10 (11 3l) + 4l = 10 11 + 3l + 4l = 10 7l = 21| : 7 l = 3 k = 11 3l k = 11 3 3 k = 2

k + 3l = 11 k + 4l = 10 k = 11 3l (11 3l) + 4l = 10 11 + 3l + 41 = 10 7l = 21| : 7 l = 3 k = 11 3 3 k = 2

Тодi можемо записати

(11, 10) = 2 (1,1) + 3 (3, 4) = (2,2) + (9, 12)

(11, 10) = 2 (1,1) + 3 (3, 4) = (2,2) + (9, 12)

Як бачимо, вектор (11, 10) можна записати як суму двох базисних векторiв, помножену на константи 2 i 3.

Приклад 2

Дано вектори

u = 2a b, v = 6a 2b.

Знайди кут мiж векторами u i v, якщо |a| = 2, |b| = 3 i a b = 3

Кут мiж векторами u i v

cos α = u v |u| |v|

Спочатку потрiбно знайти u v:

u v = (2a b) (6a 2b) = 12a2 4a b + 6a b + 2b2 = 12a2 + 2a b + 2b2 = 12 |a|2 + 2a b + 2 |b|2 = 12 22 + 2 3 + 2 32 = 48 + 6 + 18 = 24

Також потрiбно обчислити довжину u i v. Пам’ятай, що a2 = |a|2.

|u|2 = (2a b) (2a b) = 4 |a|2 4a b + |b|2 = 4 22 4 3 + 32 = 16 12 + 9 = 13 |u| = |u | 2 = 13, |v|2 = (6a 2b) (6a 2b) = 36 |a|2 24a b + 4 |b|2 = 36 22 24 3 + 4 32 = 144 72 + 36 = 108 |v| = |v | 2 = 108.

Тепер можемо пiдставити вирази назад у формулу, щоб знайти кут. Кут мiж u i v

cos α = 24 13 108 0.64, α cos 1 (0.64) 130.1°.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!