Геометрія

Статистика та ймовірність

Функції

Доведення

Енциклопедія>Числа та величини>Вектори>Двовимірний простір>Добутки та розрахунки з векторами>Для чого потрібні базисні вектори?

Для чого потрібні базисні вектори?

Знання базисних векторiв важливе для загального уявлення про вектори.

Чотири базиснi вектори та два вектори, розкладенi за допомогою базисних векторiв

Теорiя

Важливi поняття

Базис — це множина векторiв, якi в рiзних комбiнацiях утворюють решту векторiв на площинi.
Базисний вектор — це вектор iз цiєї множини.

Теорiя

Базисний вектор

Якщо дано два вектори, $\vec{x}$ i $\vec{y}$ , якi не є паралельними, то їх можна використовувати як базиснi вектори. Цi базиснi вектори можна помножити на будь-яке дiйсне число. Це означає, що решту векторiв на площинi можна записати як суму цих векторiв, помножену на число.

Приклад 1

Дано базиснi вектори $(1, - 1)$ i $(3, 4)$ . Запиши $(11, 10)$ за допомогою базисних векторiв.

\begin{array}{l} (11, 10) & = k (1, - 1) + l (3, 4) \\ = (k, - k) + (3 l, 4 l) \end{array}

(11, 10) = k (1, - 1) + l (3, 4) = (k, - k) + (3 l, 4 l)

\begin{array}{l} k + 3 l & = 11 \\ k & = 11 - 3 l \\ - k + 4 l & = 10 \\ ⇓ \\ - (11 - 3 l) + 4 l & = 10 \\ - 11 + 3 l + 4 l & = 10 \\ 7 l & = 21 | : 7 \\ l & = 3 \\ k & = 11 - 3 l \\ ⇓ \\ k & = 11 - 3 \cdot 3 \\ k & = 2 \end{array}

\begin{array}{l} k + 3 l & = 11 & - k + 4 l & = 10 \\ k & = 11 - 3 l \\ - (11 - 3 l) + 4 l & = 10 \\ - 11 + 3 l + 41 & = 10 \\ 7 l & = 21 | : 7 \\ l & = 3 \\ k & = 11 - 3 \cdot 3 \\ k & = 2 \end{array}

Тодi можемо записати

\begin{array}{l} (11, 10) & = 2 (1, - 1) + 3 (3, 4) \\ = (2, - 2) + (9, 12) \end{array}

(11, 10) = 2 (1, - 1) + 3 (3, 4) = (2, - 2) + (9, 12)

Як бачимо, вектор

(11, 10)

можна записати як суму двох базисних векторiв, помножену на константи 2 i 3.

Приклад 2

Дано вектори

$\begin{array}{l} \vec{u} & = 2 \vec{a} - \vec{b}, \\ \vec{v} & = - 6 \vec{a} - 2 \vec{b} . \end{array}$
Знайди кут мiж векторами $\vec{u}$ i $\vec{v}$ , якщо $| \vec{a} | = 2$ , $| \vec{b} | = 3$ i $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

Кут мiж векторами $\vec{u}$ i $\vec{v}$

\cos α = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |}

Спочатку потрiбно знайти $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = (2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (- 6 \vec{a} - 2 \vec{b}) \\ = - 12 {\vec{a}}^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 6 \vec{a} \cdot \vec{b} + 2 {\vec{b}}^{2} \\ = - 12 {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + 2 {\vec{b}}^{2} \\ = - 12 {| \vec{a} |}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + 2 {| \vec{b} |}^{2} \\ = - 12 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} \\ = - 48 + 6 + 18 \\ = - 24 \end{array}

Також потрiбно обчислити довжину $\vec{u}$ i $\vec{v}$ . Пам’ятай, що ${\vec{a}}^{2} = {| \vec{a} |}^{2}$ .

\begin{array}{l} {| \vec{u} |}^{2} & = (2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) \\ = 4 {| \vec{a} |}^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + {| \vec{b} |}^{2} \\ = 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 3 + 3^{2} \\ = 16 - 12 + 9 \\ = 13 \\ | \vec{u} | & = \sqrt{{| \vec{u} |}^{2}} = \sqrt{13}, \\ {| \vec{v} |}^{2} & = (- 6 \vec{a} - 2 \vec{b}) \cdot (- 6 \vec{a} - 2 \vec{b}) \\ = 36 {| \vec{a} |}^{2} - 24 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 {| \vec{b} |}^{2} \\ = 36 \cdot 2^{2} - 24 \cdot 3 + 4 \cdot 3^{2} \\ = 144 - 72 + 36 \\ = 108 \\ | \vec{v} | & = \sqrt{{| \vec{v} |}^{2}} = \sqrt{108} . \end{array}

Тепер можемо пiдставити вирази назад у формулу, щоб знайти кут. Кут мiж $\vec{u}$ i $\vec{v}$

\begin{array}{l} \cos α & = \frac{- 24}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{108}} \approx - 0.64, \\ α & \approx \cos^{- 1} (- 0.64) \approx 130.1 ° . \end{array}

Попередня стаття

Що таке одиничний вектор?

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Як знайти медіани трикутника за допомогою векторів