Як знайти скалярний добуток двох векторів (2D)

Скалярний добуток — це одна з найважливiших математичних операцiй iз векторами, насамперед через те, що показує, чи є два вектори перпендикулярними (кут мiж ними дорiвнює 90°) чи нi. Якщо два вектори перпендикулярнi один одному, їх називають ортогональними. Правило сформульовано так:

Правило

Ортогональнi вектори

a b = 0 a b

Мiж виразами стоїть знак еквiвалентностi. Це означає, що якщо один з них iстинний, то й iнший також є iстинним.

Є двi формули знаходження скалярного добутку. Одна використовується, коли вектори мають координатну форму, а iнша — коли вiдомi довжина векторiв i кут мiж ними.

Формула

Скалярний добуток

u v = (x1,y1) (x2,y2) = x1x2 + y1y2 u v = |u| |v| cos α,α = (u,v)

u v = (x1,y1) (x2,y2) = x1x2 + y1y2 u v = |u| |v| cos α,α = (u,v)

Приклад 1

Два вектори, мiж якими утворюється кут

Визнач, чи є вектори (4, 5) i (2, 3) ортогональними.

(4, 5) (2, 3) = 4 2 + 5 3 = 8 + 15 = 70

(4, 5) (2, 3) = 4 2 + 5 3 = 8 + 15 = 70

Оскiльки скалярний добуток не дорiвнює нулю, вектори не є ортогональними.

Приклад 2

Знайди скалярний добуток векторiв u i v, якщо |u| = 3, |v| = 5, а кут мiж ними α = 90°.

u v = |u| |v| cos α = 3 5 cos 90° = 3 5 0 = 0 Оскiльки скалярний добуток дорiвнює 0, вектори u i v є ортогональними.

Приклад 3

Знайди t, за якого вектори (2, 5) i (2t, 9) будуть ортогональними.

Щоб два вектори були ортогональними, скалярний добуток має дорiвнювати 0.

(2, 5) (2t, 9) = 0 4t + 45 = 0 t = 45 4

Вектори є ортогональними, коли t = 45 4 . У цьому разi другий вектор

(2t, 9) = (45 2 , 9) .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!