Як знайти площу паралелограма з векторами

Площа паралелограма, натягнутого на вектори u i v, дорiвнює довжинi вектора u ×v.

Два вектори й площа паралелограма, натягнутого на вектори

Якщо вiдомий кут мiж двома векторами, можемо скористатися формулою:

Формула

Площа паралелограма з вiдомим кутом

|u ×v| = |u| |v| sin α,α = (u,v)

Якщо вектори мають форму векторних координат, то використовуємо формулу:

Формула

Площа паралелограма з векторними координатами

|u ×v| = | (x1, y1, z1) × ( x 2, y2, z2) | = |(y1z2 y2z1,z1x2 z2x1, x1y2 x2y1)|

|u ×v| = | (x1, y1, z1) × ( x 2, y2, z2) | = |(y1z2 y2z1,z1x2 z2x1,x1y2 x2y1) |

Приклад 1

Знайди площу паралелограма, натягнутого на вектори u = (1, 3,2) i v = (3, 2, 4).

Спочатку знаходимо векторний добуток:

u ×v = ( 1 1, 3, 2) × ( 3, 2, 1 4) = (3 4 2 (2), (2) (3) 1 4, 1 2 (3) 3) = (12 + 4, 6 4, 2 + 9) = (16, 2, 11)

u ×v = ( 1 1, 3, 2) × ( 3, 2, 1 4) = (3 4 2 (2), (2) (3) 1 4, 1 2 (3) 3) = (12 + 4, 6 4, 2 + 9) = (16, 2, 11)

Довжина цього вектора дорiвнюватиме площi паралелограма. Знаходимо довжину:

162 + 22 + 112 = 256 + 4 + 121 = 381 19.5

162 + 22 + 112 = 256 + 4 + 121 = 381 19.5

Площа паралелограма приблизно дорiвнює 19.5.

Приклад 2

Якщо дано два вектори a i b, де |a| = 5, |b| = 7, а кут мiж векторами дорiвнює 30°, знаходимо площу паралелограма, натягнутого на цi вектори, пiдставивши вiдомi значення у формулу:

|a ×b| = |a| |b| sin α = 5 7 sin 30° = 5 7 1 2 = 35 2 = 17.5.

Площа паралелограма дорiвнює 17.5.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!