Що таке рівняння сфери?

Сфера

Сферу можна розглядати як зовнiшнiй шар баскетбольного м’яча. Поверхню сфери можна описати математично за допомогою рiвняння:

Теорiя

Рiвняння сфери

Поверхню сфери з радiусом $r_{0}$ та центром у точцi $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ можна описати рiвнянням

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r_{0}^{2} .

У бiльшостi випадкiв готової версiї цього рiвняння у завданнях ти не знайдеш. Його доведеться переписати, «доповнивши до повного квадрата», в такий спосiб:

x^{2} + b x + {(\frac{b}{2})}^{2} = {(x + (\frac{b}{2}))}^{2} .

Виконай такi дiї, щоб доповнити квадрати:

Правило

Визнач, чи є вираз рiвнянням сфери

Починаємо з многочлена другого ступеня такої форми::

x^{2} + b x + y^{2} + d y + z^{2} + f z = g .

(1)

Зверни увагу! Коефiцiєнти для членiв другого ступеня дорiвнюють 1.

1.

Спочатку працюємо з членами

x

x^{2} + b x .

Додаємо

{(\frac{b}{2})}^{2}

по обидва боки Формула (1). Отримуємо

x^{2} + b x + {(\frac{b}{2})}^{2} + \dots = {(\frac{b}{2})}^{2} + \dots

2.

Тепер можна розкласти на множники члени

x

по лiвий бiк:

x^{2} + b x + {(\frac{b}{2})}^{2} = {(x + (\frac{b}{2}))}^{2}

Повтори цi дiї для членiв $y$ i, нарештi, для членiв $z$ .

3.

Тепер виражаємо весь лiвий бiк рiвняння як суму квадратiв. Розмiщуємо всi константи праворуч i додаємо їх разом. Якщо правий бiк додатний, його можна записати як

r^{2}

, i вираз набуде вигляду рiвняння для сфери:

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r^{2} .

Усi цi дiї можуть здатися складними, але їх легше буде зрозумiти на прикладi.

Приклад 1

Ймовiрно, це рiвняння для сфери:

x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y + z^{2} = 4 .

З’ясуй, чи так це, i якщо так, то визнач центр i радiус сфери.

Для цього застосовуємо описаний вище порядок дiй. Члени $x$ , $y$ i $z$ потрiбно переписати, видiливши повнi квадрати.

Пункт 1 i 2.

Цi кроки можна виконувати одночасно, адже метою є доповнення до повних квадратiв. Щоб доповнити $x^{2} + 4 x$ до повного квадрата, подiли 4 (число перед $x$ ) на 2 i додай квадрат рiзницi з обох бокiв рiвняння. Отримаєш:

\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} + \dots & = \dots + {(\frac{4}{2})}^{2} \\ {(x + \frac{4}{2})}^{2} + \dots & = \dots + {(\frac{4}{2})}^{2} \end{array}

Щоб доповнити $y^{2} - 2 y$ до повного квадрата, додай ${(\frac{- 2}{2})}^{2}$ з обох бокiв рiвняння. Отримаєш:

\begin{array}{l} y^{2} - 2 y + {(\frac{- 2}{2})}^{2} + \dots & = \dots + {(\frac{- 2}{2})}^{2} \\ {(y + \frac{- 2}{2})}^{2} + \dots & = \dots + {(\frac{- 2}{2})}^{2} \end{array}

Як бачимо, $z^{2}$ вже є повним квадратом, тож не чiпаємо його.

Пункт 3.

Тепер просто об’єднуємо наведенi вище обчислення:

\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y + z^{2} & = 4 \\ {(x + \frac{4}{2})}^{2} + {(y + \frac{- 2}{2})}^{2} + z^{2} & = 4 + {(\frac{4}{2})}^{2} \\ + {(\frac{- 2}{2})}^{2} \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} & = 4 + 4 + 1 \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} & = 3^{2} \end{array}

\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y + z^{2} & = 4 \\ {(x + \frac{4}{2})}^{2} + {(y + \frac{- 2}{2})}^{2} + z^{2} & = 4 + {(\frac{4}{2})}^{2} + {(\frac{- 2}{2})}^{2} \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} & = 4 + 4 + 1 \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} & = 3^{2} \end{array}

Це рiвняння є рiвнянням сфери; радiус

r = 3

, центр

s = (- 2, 1, 0)

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Як знайти площу поверхні сферичного сегмента

Повернутися