Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Як знайти відстань між двома прямими

Двi прямi, що не перетинаються, у тривимiрнiй системi координат

За умови, що двi прямi не перетинаються, на кожнiй прямiй є одна точка, в якiй прямi розташованi найближче одна до одної. Щоб знайти вiдстань мiж двома прямими в цiй точцi, використовуємо напрямнi вектори обох прямих, щоб знайти iнший вектор, перпендикулярний до обох прямих. Якщо дано пряму l уздовж вектора r→l i пряму k уздовж вектора r→k, то найкоротшу вiдстань мiж прямими знаходимо так:

Правило

Вiдстань мiж двома прямими

1.
Нехай P — це довiльна точка на прямiй l, а Q — довiльна точка на прямiй k. Виражаємо цi точки за допомогою параметричних рiвнянь прямих.
2.
Складаємо вираз для вектора PQ→.
3.
У точцi, в якiй двi прямi розташованi найближче одна до одної, вектор PQ→ перпендикулярний до обох прямих. А отже, нам потрiбно
PQ→ ⊥r→l ⇔PQ→ ⋅r→l = 0

i

PQ→ ⊥r→k ⇔PQ→ ⋅r→k = 0.
4.
Тепер маємо два рiвняння з двома невiдомими та систему рiвнянь, яку потрiбно розв’язати.
5.
Щойно знайдемо значення для s i для t, зможемо пiдставити їх у вираз для PQ→, щоб з’ясувати, який вигляд має цей вектор у точцi, в якiй двi прямi розташованi найближче одна до одної.
6.
Нарештi, можемо знайти |PQ→|, тобто вiдстань мiж прямими.

Приклад 1

Знайди вiдстань мiж прямими

l: x (t) = 1 + t, y (t) = 2t, z (t) = 1 + 3t

l: x (t) = 1 + t,y (t) = 2t,z (t) = 1 + 3t

i

k: x (t) = 2 + s, y (t) = −1 + s, z (t) = 1 + s

k: x (s) = 2 + s,y (s) = −1 + s,z (s) = 1 + s

1.
Насамперед створюємо точку P за допомогою параметричного рiвняння прямої l i точку Q за допомогою параметричного рiвняння прямої k:
P = (1 + t, 2t, 1 + 3t)

i

Q = (2 + s,−1 + s, 1 + s).
2.
Створюємо PQ→:
PQ→ = (2 + s −(1 + t),−1 + s −(2t), 1 + s −(1 + 3t)) = (1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t).

PQ→ = (2 + s −(1 + t),−1 + s −(2t), 1 + s −(1 + 3t)) = (1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t).

3.
Знаходимо
PQ→ ⊥r→l ⇔PQ→ ⋅r→l = 0

i

PQ→ ⊥r→k ⇔PQ→ ⋅r→k = 0.

Вектор rl складається з чисел, що йдуть перед t у параметричному рiвняннi прямої l, а вектор rk — з чисел, що йдуть перед s у параметричному рiвняннi прямої k. Отримуємо:

(1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t) ⋅(1, 2, 3) = 0 1 + s − t − 2 + 2s − 4t + 3s − 9t = 0 − 1 + 6s − 14t = 0 (1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t) ⋅(1, 1, 1) = 0 1 + s − t − 1 + s − 2t + s − 3t = 0 3s − 6t = 0

(1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t) ⋅(1, 2, 3) = 0 1 + s − t − 2 + 2s − 4t + 3s − 9t = 0 − 1 + 6s − 14t = 0 (1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t) ⋅(1, 1, 1) = 0 1 + s − t − 1 + s − 2t + s − 3t = 0 3s − 6t = 0

4.
Розв’язуємо систему рiвнянь:
3s − 6t = 0 3s = 6t s = 2t − 1 + 6s − 14t = 0 ⇓ − 1 + 6 ⋅ 2t − 14t = 0 − 1 − 2t = 0 t = −1 2 s = 2t ⇓ s = −1

− 1 + 6s − 14t = 0 3s − 6t = 0 3s = 6t s = 2t − 1 + 6 ⋅ 2t − 14t = 0 − 1 − 2t = 0 t = −1 2 s = 2 ⋅(− 1 2 ) s = −1

5.
Пiдставляємо значення, якi знайшли для s i t, у вираз для знаходження PQ→ :
PQ→ = (1 + (−1) −(− 1 2 ) , − 1 + (−1) − 2 ⋅(− 1 2 ) , (−1) − 3 ⋅(− 1 2 ) ) = (1 2,−1, 1 2) .

PQ→ = (1 + (−1) −(− 1 2 ) ,−1 + (−1) − 2 ⋅(− 1 2 ) , (−1) − 3 ⋅(− 1 2 )) = (1 2,−1, 1 2) .

6.
Нарештi, знаходимо довжину PQ→, яка є вiдстанню мiж двома прямими: |PQ→| = (1 2) 2 + 12 + (1 2) 2 = 1 4 + 1 + 1 4 = 3 2

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Як знайти відстань від точки до прямої
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Як знайти відстань між точкою та площиною
Повернутися