Найпоширенiшими об’ємними фiгурами є: призми, цилiндри, пiрамiди, конуси та сфери. Усi вони мають двi важливi властивостi: об’єм i площа поверхнi. Ось перелiк таких фiгур i їхнiх властивостей.
Приклад 1
Призма має в основi трикутник площею . Висота призми становить . Обчисли об’єм призми.
Обчислимо об’єм, помноживши площу основи на висоту :
Приклад 2
Радiус цилiндра становить , а висота . Обчисли об’єм та площу поверхнi цилiндра.
Формула для обчислення об’єму цилiндра . Маємо висоту , але потрiбно знайти площу основи . Оскiльки основою цилiндра є коло, потрiбно знайти площу кола:
Тепер обчислимо об’єм цилiндра, помноживши площу основи на висоту :
Щоб знайти площу поверхнi цилiндра, потрiбно додати площi всiх сторiн. Зелений прямокутник, який зображено на рисунку, отримано шляхом розрiзування й складання стiнок цилiндра. Спершу обчислимо площу верхньої та нижньої основ цилiндра (вони мають однакову площу), а потiм площу прямокутника, який є бiчною поверхнею. Довжина прямокутника дорiвнює довжинi кола (див. рисунок):
Тодi площа поверхнi цилiндра становить
Приклад 3
Пiрамiда має в основi трикутник площею . Висота пiрамiди становить . Обчисли об’єм пiрамiди.
Знайдемо об’єм пiрамiди, помноживши площу основи на висоту та роздiливши на 3:
Приклад 4
Конус має в основi коло радiусом . Висота конуса становить , а сторона . Обчисли об’єм i площу поверхнi конуса.
Формула для обчислення об’єму конуса , тому спочатку потрiбно знайти площу основи . Площа кола:
Опiсля знаходимо об’єм конуса, помноживши площу основи на висоту , а потiм роздiливши на 3:
Площу поверхнi знаходимо, використовуючи формулу для площi поверхнi конуса. Тут можна вставити свої значення безпосередньо у формулу та розрахувати.
Приклад 5
Сфера має радiус . Обчисли об’єм i площу поверхнi сфери.
Обчислимо об’єм за формулою для обчислення об’єму сфери:
Обчислимо площу поверхнi за формулою для обчислення площi поверхнi: