>Andregradslikninger>Hvordan løse andregradslikninger

Hvordan løse andregradslikninger

Andregradslikninger er likninger på formen

a x^{2} + b x + c = 0 .

Uttrykket $a x^{2} + b x + c$ kalles for et polynom av andre grad fordi den største eksponenten er 2. Det er fire metoder for å løse andregradslikninger ved regning:

1.: $a b c$ -formelen,
2.: løsing av andregradslikning der $c = 0$ ,
3.: løsing av andregradslikning der $b = 0$ ,
4.: løsing av andregradslikninger ved inspeksjon.

Svaret på disse metodene vil alltid være nullpunktene til funksjonen.

Formel

$a b c$ -formelen

Kan brukes på alle andregradslikninger

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Andregradslikninger har enten ingen løsning, én løsning eller to reelle løsninger.

$b^{2} - 4 a c < 0 \Rightarrow$ ingen reell løsning,
$b^{2} - 4 a c = 0 \Rightarrow$ én reell løsning,
$b^{2} - 4 a c > 0 \Rightarrow$ to reelle løsninger.

Eksempel 1

Løs likningen $x^{2} + 11 x = - 30$

Først må du få alle leddene over på den ene siden slik at du får 0 på den andre siden:

\begin{array}{l} x^{2} + 11 x & = - 30 \\ x^{2} + 11 x + 30 & = 0 \end{array}

Du bruker nå $a b c$ -formelen med $a = 1$ , $b = 11$ og $c = 30$ : $\begin{array}{l} x & = \frac{- 11 \pm \sqrt{{(11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} \\ = \frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2} \\ = \frac{- 11 \pm 1}{2} \end{array}$

Lag en likning med pluss foran rottegnet og en likning med minus foran rottegnet:

\begin{array}{l} x_{1} & = \frac{- 11 + 1}{2} & x_{2} & = \frac{- 11 - 1}{2} \\ = \frac{- 10}{2} & = \frac{- 12}{2} \\ = - 5 & = - 6 \end{array}

Svaret du får er dermed $x_{1} = - 5$ og $x_{2} = - 6$ .

Regel

Løsing av andregradslikning der $c = 0$

Uttrykket ser da ut som følger:

a x^{2} + b x = 0

1.: Faktorisere ved å sette utenfor en parentes slik at du får et gangestykke på formen $p \cdot q = 0$ .
2.: Du kan dermed bruke følgende fremgangsmåte: $p \cdot q = 0 \Leftrightarrow p = 0$ eller $q = 0$ .

Eksempel 2

Løs likningen $2 x^{2} + 4 x = 0$

Vi faktoriserer ut $2 x$ :

2 x (x + 2) = 0 .

Du lager nå en likning for hver faktor:

\begin{array}{l} 2 x & = 0 & x + 2 & = 0 \\ x & = 0 & x & = - 2 \end{array}

Svaret du får er dermed $x_{1} = 0$ og $x_{2} = - 2$ .

Regel

Løsing av andregradslikning der $b = 0$

Uttrykket ser da ut som følger:

a x^{2} + c = 0

1.: Du flytter konstanten $c$ over på den andre siden.
2.: Nå deler du på $a$ .
3.: Så tar du kvadratroten på begge sider av likhetstegnet.
4.: Da får du én positiv og én negativ løsning.

Eksempel 3

\begin{array}{l} 3 x^{2} - 27 & = 0 \\ 3 x^{2} & = 27 | : 3 \\ x^{2} & = 9 \\ x & = \pm 3 \end{array}

Regel

Løsing av andregradslikninger ved inspeksjon

Du har $a x^{2} + b x + c = 0$ . Når du løser ved inspeksjon følger du to regler, disse er:

\begin{array}{l} c & = p \cdot q, \\ b & = p + q . \end{array}

der $x_{1} = - p$ og $x_{2} = - q$ alltid vil være $x$ -verdiene til nullpunktene til uttrykket, og dermed svaret på likningen.

Eksempel 4

Løs likningen $x^{2} - x - 56 = 0$

Her ser du at $b = - 1$ og $c = - 56$ . Du skal finne en verdi for $p$ og en verdi for $q$ for å finne svaret på likningen. Det er flere gangestykker som har $- 56$ som svar:

\begin{array}{l} - (2 \cdot 28) & = - 56, \\ - (4 \cdot 14) & = - 56 \\ - (7 \cdot 8) & = - 56 \end{array}

er noen av dem. Siden alle produktene passer til $- 56$ , så er dette svarkandidater. Du må nå velge det produktet som gjør at differansen mellom faktorene blir negativ, siden du leter etter svaret $- 1$ som er et negativt tall. Det er lett å se at: