Se på funksjonen
NB! Siden og er så like, så vil du kunne bytte ut med i funksjonsuttrykket og få nesten tilsvarende regning for de stasjonære punktene, som i eksempelet under.
Du vet at grafen til den vanlige cosinusfunksjonen går i bølger og har derfor mange topp-, bunn- og nullpunkter. Funksjonen har veldig lik form, men er forskjøvet og strukket i diverse retninger, sammenlignet med den originale funksjonen .
Det finnes svært enkle metoder for å finne nullpunkter, topp- og bunnpunkter og vendepunkter til cosinusfunksjonen. Fremgangsmåtene for disse metodene skal du se på nå.
Regel
For å finne nullpunktene til setter du . For den mer avanserte cosinusfunksjonen
må du sette og løse for .
Regel
For å finne toppunktene til setter du til å være 1. Altså, toppunktet har -verdi lik 1 og -verdien er gitt ved .
For å finne toppunktet til den mer avanserte cosinusfunksjonen
gjør du som følger:
For å regne ut -verdien til toppunktet må du sette inn i , og regne ut.
For å finne de tilhørende -verdiene setter du , og løser for .
Regel
For å finne bunnpunktene til setter du til å være . Altså, bunnpunktet har -verdi lik og -verdien er gitt ved .
For å finne bunnpunktet til
gjør du som følger:
For å regne ut -verdien til bunnpunktet må du sette inn i , og regne ut.
For å finne de tilhørende -verdiene setter du , og løser for .
Teori
For er vendepunktene de samme som nullpunktene. For
finner du -verdiene til vendepunktet ved å lese av verdien til .
For å finne -verdien setter du .
Eksempel 1
Du har funksjonen
Du skal finne nullpunkt, toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt til .
Du må sette og løse for :
Grunnlikningen har løsningene
Du løser disse for og får
Nullpunktene er dermed
For å finne toppunktet setter du i uttrykket ditt:
Du har nå funnet -verdien til toppunktet. Du finner -verdien ved å løse likningen
Toppunktene er dermed
NB! Fordi 0 og er samme tall, løser du bare likning for én av verdiene, i dette tilfellet 0. Dermed ender du opp med én likning, og ikke to slik du er vant med fra løsning av trigonometriske likninger med cosinus.
For å finne bunnpunktet setter du i uttrykket ditt:
Du har nå funnet -verdien til bunnpunktet. Du finner -verdien ved å løse likningen
Bunnpunktene er dermed
Du finner -verdien til vendepunktet ved å lese av verdien for . Du må nå finne -verdien ved å løse likningen . Grunnlikningen har løsningene
Du løser disse for og får:
Vendepunktene er dermed