Funksjonsdrøfting av cosinusfunksjon

Se på funksjonen

f(x) = A cos(cx + ϕ) + d.

NB! Siden sin x og cos x er så like, så vil du kunne bytte ut cos x med sin x i funksjonsuttrykket og få nesten tilsvarende regning for de stasjonære punktene, som i eksempelet under.

Du vet at grafen til den vanlige cosinusfunksjonen går i bølger og har derfor mange topp-, bunn- og nullpunkter. Funksjonen f(x) har veldig lik form, men er forskjøvet og strukket i diverse retninger, sammenlignet med den originale funksjonen cos x.

Trigonometrisk funksjon med nullpunkter, ekstremalpunkter og vendepunkter markert.

Det finnes svært enkle metoder for å finne nullpunkter, topp- og bunnpunkter og vendepunkter til cosinusfunksjonen. Fremgangsmåtene for disse metodene skal du se på nå.

Regel

Nullpunkter

For å finne nullpunktene til cos x setter du x = π 2 + n π. For den mer avanserte cosinusfunksjonen

f(x) = A cos(cx + ϕ) + d

må du sette f(x) = 0 og løse for x.

Regel

Toppunkter

For å finne toppunktene til cos x setter du cos x til å være 1. Altså, toppunktet har y-verdi lik 1 og x-verdien er gitt ved x = 0 + n 2π.

For å finne toppunktet til den mer avanserte cosinusfunksjonen

f(x) = A cos(cx + ϕ) + d

gjør du som følger:

  • For å regne ut y-verdien til toppunktet må du sette inn cos(cx + ϕ) = 1 i f(x), og regne ut.

  • For å finne de tilhørende x-verdiene setter du cos(cx + ϕ) = 1, og løser for x.

Regel

Bunnpunkter

For å finne bunnpunktene til cos x setter du cos x til å være 1. Altså, bunnpunktet har y-verdi lik 1 og x-verdien er gitt ved x = π + n 2π.

For å finne bunnpunktet til

f(x) = A cos(cx + ϕ) + d

gjør du som følger:

  • For å regne ut y-verdien til bunnpunktet må du sette inn cos(cx + ϕ) = 1 i f(x), og regne ut.

  • For å finne de tilhørende x-verdiene setter du cos(cx + ϕ) = 1, og løser for x.

Teori

Vendepunkter

For cos x er vendepunktene de samme som nullpunktene. For

f(x) = A cos(cx + ϕ) + d

finner du y-verdiene til vendepunktet ved å lese av verdien til d.

For å finne x-verdien setter du cos(cx + ϕ) = 0.

Eksempel 1

Du har funksjonen

f(x) = 4 cos (πx + 2π 3 ) 2.

Du skal finne nullpunkt, toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt til f.

Nullpunkt

Du må sette f(x) = 0 og løse for x:

4 cos (πx + 2π 3 ) 2 = 0 cos (πx + 2π 3 ) = 1 2

Grunnlikningen har løsningene

πx1 + 2π 3 = π 3 + n 2π, πx2 + 2π 3 = π 3 + n 2π.

Du løser disse for x og får

πx1 = π 3 + n 2π x1 = 1 3 + 2n πx2 = π + n 2π x2 = 1 + 2n

Nullpunktene er dermed

, (1, 0), (1 3, 0) , (1, 0), (5 3, 0) ,

Toppunkt

For å finne toppunktet setter du cos (πx + 2π 3 ) = 1 i uttrykket ditt:

f(x) = 4 1 2 = 2.

Du har nå funnet y-verdien til toppunktet. Du finner x-verdien ved å løse likningen

cos (πx + 2π 3 ) = 1 πx + 2π 3 = 0 + n 2π πx = 0 2π 3 + n 2π πx = 2π 3 + n 2π x = 2 3 + 2n

Toppunktene er dermed

, (2 3, 2) , (4 3, 2) , (10 3 , 2) , (16 3 , 2) ,

NB! Fordi 0 og 0 er samme tall, løser du bare likning for én av verdiene, i dette tilfellet 0. Dermed ender du opp med én likning, og ikke to slik du er vant med fra løsning av trigonometriske likninger med cosinus.

Bunnpunkt

For å finne bunnpunktet setter du cos (πx + 2π 3 ) = 1 i uttrykket ditt:

f(x) = 4 (1) 2 = 6.

Du har nå funnet y-verdien til bunnpunktet. Du finner x-verdien ved å løse likningen

cos (πx + 2π 3 ) = 1 πx + 2π 3 = π + n 2π πx = π 3 + n 2π x = 1 3 + 2n

Bunnpunktene er dermed

, (1 3,6) , (5 3,6) , (11 3 ,6) , (17 3 ,6) ,

, (1 3,6) , (5 3,6) , (11 3 ,6) , (17 3 ,6) ,

NB! Fordi π og π svarer til de samme løsningene i likningen, løser du bare likning for én av verdiene, i dette tilfellet π. Dermed ender du opp med én likning, og ikke to slik du er vant med fra løsning av trigonometriske likninger med cosinus.

Vendepunkt

Du finner y-verdien til vendepunktet ved å lese av verdien for d = 2. Du må nå finne x-verdien ved å løse likningen cos (πx + 2π 3 ) = 0. Grunnlikningen har løsningene

πx1 + 2π 3 = π 2 + n 2π, πx2 + 2π 3 = π 2 + n 2π.

Du løser disse for x og får:

πx1 = 2π 3 + π 2 + n 2π = π 6 + n 2π x1 = 1 6 + 2n πx2 = 2π 3 π 2 + n 2π = 7π 6 + n 2π x2 = 7 6 + 2n

Vendepunktene er dermed

, (1 6,2) , (5 6,2) , (11 6 ,2) , (17 6 ,2) ,

, (1 6,2) , (5 6,2) , (11 6 ,2) , (17 6 ,2) ,

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!