Eksponentialfunksjoner med tallet e

Når noe øker eller minker med samme prosent i hver periode har du eksponentiell (prosentvis) vekst. Den eksponentielle veksten kan være negativ, da avtar grafen mot høyre fremfor å stikke til himmels som den ellers gjør.

I eksponentialfunksjoner kan du enten bruke et vilkårlig tall b som grunntall eller e som grunntall.

Teori

Eksponentialfunksjon

Eksponentialfunksjoner kan forekomme med e som grunntall eller med et vilkårlig tall b som grunntall. I begge tilfeller er a en konstant. De ser slik ut:

f(x) = a ekxf(x) = a bx

NB! Disse funksjonene er omskrivninger av hverandre og har derfor identiske grafer (b = ek).

Legg merke til at argumentet x nå er i eksponenten! a, b og k er tall.

Når a-verdien i funksjonsuttrykket er positivt, så ser grafen ut som én av de to grafene nedenfor.

Regel

Grafen til eksponentialfunksjonen

Grafene til en voksende og en avtakende eksponentialfunksjon

a er y-verdien når x = 0, b = ek er vekstfaktoren,

0 < b < 1 blå graf, b > 1 rød graf.

NB! Det forventes at du skal kunne regne om fra b = ek og fra ek = b.

Regel

Omregning fra b = ek og fra ek = b

bx = (eln b) x = ekx, der k = ln b ekx = (ek) x = bx, der b = ek

Videre er en beskrivelse av hvordan funksjonen blir for ulike verdier av a og b > 0.

a > 0 og b > 1:

Grafen kommer langs x-aksen og stiger kraftig mot høyre.

Eksponentialfunksjon med a > 0 og b > 1

a > 0 og 0 < b < 1:

Grafen avtar kraftig mot høyre og slakker ut langs x-aksen.

Eksponentialfunksjon med a > 0 og 0 < b < 1

a og b = 1:

Grafen er en vannrett linje gjennom a.

Eksponentialfunksjon med tilfeldig verdi for a og b = 1

a < 0 og b > 1:

Grafen kommer langs x-aksen og stuper kraftig ned under x-aksen.

Eksponentialfunksjon med a < 0 og b > 1

a < 0 og 0 < b < 1:

Grafen stiger kraftig og slakker ut langs x-aksen.

Eksponentialfunksjon med a < 0 og 0 < b < 1

Generelt har du at b > 1 gir en fast prosentvis økning, 0 < b < 1 gir fast prosentvis reduksjon og b = 1 gir ingen endring. Tallet b = ek fungerer som en vekstfaktor. Verdien til a påvirker fortegnet til funksjonsverdiene.

Eksempel 1

Du har funksjonen f(x) = 3 2x. Denne skjærer y-aksen i y = 3 og vokser eksponentielt. Denne formen for vekst er svært kraftig og referanser til denne grafen brukes også ofte i dagligtale, som når noen snakker om en hendelse som tar helt av!

Grafen til f(x) = 3*2^x fra x = -6 til x = 4

Eksempel 2

Du har funksjonen f(x) = 3 0,5x. Denne skjærer y-aksen i y = 3 og avtar eksponentielt. Denne formen for reduksjon er svært kraftig og referanser til denne grafen brukes også ofte i dagligtale.

Grafen til f(x) = 3*0,5^x fra x = -2 til x = 7

Eksempel 3

Ved en bestemt kjemisk reaksjon vil konsentrasjonen av et stoff være gitt ved

f(t) = 2,50 2,50 e 0,012t,

der t er tiden målt i sekunder, og f(t) er målt i mmol/L. Du får følgende oppgaver:

1.
Hva er konsentrasjonen etter 15 sekunder? Hvor lang tid tar det før konsentrasjonen er 2,00mmol/L?
2.
Tegn grafen til f. Hva vil konsentrasjonen nærme seg om reaksjonen pågår veldig lenge?
3.
Hva er reaksjonshastigheten når konsentrasjonen er 2,00mmol/L?

1.
For å finne konsentrasjonen etter 15 sekunder setter du inn t = 15 i f(t). Du får
f(15) = 2,50 2,50 e0,01215 0,412.

f(15) = 2,50 2,50 e0,01215 0,412.

Så konsentrasjonen etter 15 sekunder er 0,412 mmol/L.

Nå skal du finne ut hvor lang tid det tar før konsentrasjonen er 2,00 mmol/L. Da må du løse likningen f(t) = 2,00. Du setter den opp, og får

2,50 2,50 e0,012t = 2,00.

Du trekker fra 2,50 på begge sider, og får

2,50 e0,012t = 0,50.

Så deler du på 2,50, så likningen blir

e0,012t = 0,2.

Nå har du en likning av typen ea = b. Da tar du ln på begge sider, så du får

0,012t = ln 0,2 = 1,61.

Til slutt deler du på 0,012, og finner løsningen

t = 1,61 0,012 134.

Dette betyr at det tar 134 sekunder før konsentrasjonen er 2,00 mmol/L.

2.
Først tegner du grafen til f. Den ser sånn ut:

Grafen til f(t) = 2,5-2,5e^(-0,012t) med beregnet punkt markert

For å finne ut hva konsentrasjonen nærmer seg om reaksjonen pågår veldig lenge kan du enten se på grafen og se at den går mot 2,50, eller sette inn en skikkelig stor t og få f(100000) 2,50. Dette betyr at om reaksjonen går veldig lenge nærmer konsentrasjonen seg 2,50 mmol/L. En annen måte du kan si dette på er å si at y = 2,5 er en horisontal asymptote.

3.
Når du skal finne reaksjonshastigheten må du derivere reaksjonsfunksjonen. Du må regne ut f(t). Dette gjør du med regneregelen
(ekx) = kekx.

Du bruker den, og får at

f(t) = (2,50 2,50 e0,012t) , = 2,50 (0,012) e0,012t, = 0,03e0,012t.

Altså er funksjonen for reaksjonshastigheten

f(t) = 0,03e0,012t.

Du vil finne reaksjonshastigheten når det er 2,00 mmol/L. Du så i Oppgave 2 at dette skjedde når t = 134, så du setter inn 134 og får at

f(134) = 0,03e0,012134 0,006.

f(134) = 0,03e0,012134 0,006.

Dette betyr at reaksjonshastigheten er 0,006 mmol/L per sekund når konsentrasjonen er 2,00 mmol/L.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!