Når noe øker eller minker med samme prosent i hver periode har du eksponentiell (prosentvis) vekst. Den eksponentielle veksten kan være negativ, da avtar grafen mot høyre fremfor å stikke til himmels som den ellers gjør.
I eksponentialfunksjoner kan du enten bruke et vilkårlig tall som grunntall eller som grunntall.
Teori
Eksponentialfunksjoner kan forekomme med som grunntall eller med et vilkårlig tall som grunntall. I begge tilfeller er en konstant. De ser slik ut:
NB! Disse funksjonene er omskrivninger av hverandre og har derfor identiske grafer .
Legg merke til at argumentet nå er i eksponenten! , og er tall.
Når -verdien i funksjonsuttrykket er positivt, så ser grafen ut som én av de to grafene nedenfor.
Regel
er -verdien når , er vekstfaktoren,
blå graf, rød graf.
NB! Det forventes at du skal kunne regne om fra og fra .
Regel
Videre er en beskrivelse av hvordan funksjonen blir for ulike verdier av og .
og :
Grafen kommer langs -aksen og stiger kraftig mot høyre.
og :
Grafen avtar kraftig mot høyre og slakker ut langs -aksen.
og :
Grafen er en vannrett linje gjennom .
og :
Grafen kommer langs -aksen og stuper kraftig ned under -aksen.
og :
Grafen stiger kraftig og slakker ut langs -aksen.
Generelt har du at gir en fast prosentvis økning, gir fast prosentvis reduksjon og gir ingen endring. Tallet fungerer som en vekstfaktor. Verdien til påvirker fortegnet til funksjonsverdiene.
Eksempel 1
Du har funksjonen . Denne skjærer -aksen i og vokser eksponentielt. Denne formen for vekst er svært kraftig og referanser til denne grafen brukes også ofte i dagligtale, som når noen snakker om en hendelse som tar helt av!
Eksempel 2
Du har funksjonen . Denne skjærer -aksen i og avtar eksponentielt. Denne formen for reduksjon er svært kraftig og referanser til denne grafen brukes også ofte i dagligtale.
Eksempel 3
Ved en bestemt kjemisk reaksjon vil konsentrasjonen av et stoff være gitt ved
der er tiden målt i sekunder, og er målt i mmol/L. Du får følgende oppgaver:
Nå skal du finne ut hvor lang tid det tar før konsentrasjonen er mmol/L. Da må du løse likningen . Du setter den opp, og får
Du trekker fra på begge sider, og får
Så deler du på , så likningen blir
Nå har du en likning av typen . Da tar du på begge sider, så du får
Til slutt deler du på , og finner løsningen
Dette betyr at det tar 134 sekunder før konsentrasjonen er mmol/L.
For å finne ut hva konsentrasjonen nærmer seg om reaksjonen pågår veldig lenge kan du enten se på grafen og se at den går mot , eller sette inn en skikkelig stor og få . Dette betyr at om reaksjonen går veldig lenge nærmer konsentrasjonen seg mmol/L. En annen måte du kan si dette på er å si at er en horisontal asymptote.
Du bruker den, og får at
Altså er funksjonen for reaksjonshastigheten
Du vil finne reaksjonshastigheten når det er mmol/L. Du så i Oppgave 2 at dette skjedde når , så du setter inn og får at