Hva er den komplekskonjugerte?

For komplekse tall finnes det en regneoperasjon som heter konjugasjon. Et annet begrep som brukes om konjugasjon er kompleks konjugasjon. Den konjugerte av et komplekst tall $z$ betegnes med $\stackrel{}{z}$ eller $z^{\ast }$.

Når du konjugerer et tall $z$ endrer du fortegnet til imaginærdelen til $z$. På polarform svarer dette til at du endrer fortegnet til argumentet til $z$. I det komplekse planet kan du tenke på konjugasjon av $z$ som en speiling av $z$ om den reelle aksen.

Den konjugerte av $z$ har samme norm og realdel som $z$. Dette medfører at reelle tall ikke påvirkes av konjugasjon. Reelle tall kalles derfor fikspunkter for konjugasjon. Konjugasjon er også en involusjon. Dette betyr at om du bruker konjugasjon to ganger kommer du tilbake til utgangspunktet. Den konjugerte av den konjugerte av $z$ er derfor $z$:

$$\stackrel{}{\stackrel{}{z}}=z.$$

En viktig egenskap ved konjugasjon er at produktet av et komplekst tall $z$ med sin egen konjugert $\stackrel{}{z}$ er kvadratet av normen til $z$, og dermed et reelt tall:

Multiplikasjon av komplekse tall kan tenkes på som en kombinasjon av en skalering og rotasjon i det komplekse planet. Argumentene til $z$ og $\stackrel{}{z}$ er motsatte, $𝜃$ og $-𝜃$. Produktet av $z$ med $\stackrel{}{z}$ er dermed en rotasjon av $z$ fra $𝜃$ til $0$. Produktet av $z$ og $\stackrel{}{z}$ er derfor et reelt tall.

Normene til $z$ og $\stackrel{}{z}$ er like. Multiplikasjon med $\stackrel{}{z}$ kan derfor tenkes på som en skalering av $z$ fra $r$ til $r^2$. Produktet av $z$ og $\stackrel{}{z}$ er derfor kvadratet av normen til $z$. Denne egenskapen utnyttes blant annet til å utføre divisjon av komplekse tall og til å finne den inverse av komplekse tall.

Regnereglene for konjugasjon sier at rekkefølgen på konjugasjon og de fire regneartene er likegyldig. Det er det samme om du først utfører en operasjon og deretter konjugerer resultatet, eller om du først konjugerer og deretter utfører operasjonen.