Her vil du lære om divisjon av komplekse tall både på kartesisk form og på polarform. Divisjon kan blant annet brukes til å finne inverse av komplekse tall.
På kartesisk form bygger divisjon av komplekse tall på multiplikasjon og konjugasjon. Om du har en brøk med komplekse tall i teller og nevner skal du skrive om brøken slik at du ikke har den imaginære enheten i nevner. Dette kan gjøres ved å utvide brøken med den konjugerte av nevneren for å få en nevner som kun består av reelle tall:
Formel
La og være komplekse tall. Da er:
På samme måte som med addisjon, subtraksjon og multiplikasjon er mengden av komplekse tall lukket under divisjon. Det betyr at du får ett nytt komplekst tall når du deler to komplekse tall på hverandre. Som med reelle tall er det ikke mulig å dele på og du må passe på å aldri ha i nevner av en brøk.
Eksempel 1
Regn ut med de komplekse tallene og
For å regne ut må du først finne den konjugerte av :
Nå kan du løse opp brøken ved å utvide med i teller og nevner:
Om du skriver komplekse tall ved å bruke den komplekse eksponentialfunksjonen, kan du dele komplekse tall ved å bruke vanlige regneregler for potensregning:
Formel
La og være komplekse tall. Da er:
På polarform deler du komplekse tall ved å dele normene på hverandre og trekke argumentene fra hverandre. Dette kan visualiseres i det komplekse planet:
På samme måte som med multiplikasjon kan du tenke på divisjon som en skalering og rotering i det komplekse planet. I motsetning til multiplikasjon er rotasjonen i negativ omløpsretning. Dette er fordi divisjon med tallet er det samme som multiplikasjon med den inverse .
For alle komplekse tall finnes det et inverst komplekst tall som betegnes . Det inverse tallet har egenskapen . Du finner ved å løse opp brøken :
Teori
For ethvert komplekst tall finnes det en invers :
Du kan regne ut den inverse til et komplekst tall ved å dele den konjugerte av på kvadratet av normen til . Om du ikke husker denne formelen for den inverse kan du alltid finne den inverse ved å løse .
Eksempel 2
Regn ut den inverse til det komplekse tallet . Undersøk deretter om du har funnet riktig invers.
For å finne den inverse til trenger du både den konjugerte til og normen til . Her er den konjugerte og normen . Da blir det inverse tallet:
For å sjekke om du har funnet riktig invers kan du se om oppfyller :
Produktet av og er . Den inverse er riktig.