Hvordan forenkle komplekse brøker

Her vil du lære om divisjon av komplekse tall både på kartesisk form og på polarform. Divisjon kan blant annet brukes til å finne inverse av komplekse tall.

Kartesisk form

På kartesisk form bygger divisjon av komplekse tall på multiplikasjon og konjugasjon. Om du har en brøk med komplekse tall i teller og nevner skal du skrive om brøken slik at du ikke har den imaginære enheten i nevner. Dette kan gjøres ved å utvide brøken med den konjugerte av nevneren for å få en nevner som kun består av reelle tall:

Formel

Divisjon kartesisk form

La z1 = a + bi og z2 = c + di0 være komplekse tall. Da er:

z1 z2 = a + bi c + di = (a + bi) (c di) (c + di) (c di) = (ac + bd) + (bc ad)i c2 + d2 = ac + bd c2 + d2 + bc ad c2 + d2 i.

På samme måte som med addisjon, subtraksjon og multiplikasjon er mengden av komplekse tall lukket under divisjon. Det betyr at du får ett nytt komplekst tall når du deler to komplekse tall på hverandre. Som med reelle tall er det ikke mulig å dele på 0 og du må passe på å aldri ha 0 i nevner av en brøk.

Eksempel 1

Regn ut z1 z2 med de komplekse tallene z1 = 2 + i og z2 = 3 i

For å regne ut z1 z2 må du først finne den konjugerte av z2:

z2 = 3 + i.

Nå kan du løse opp brøken ved å utvide med z2 i teller og nevner:

z1 z2 = z1 z2 z2 z2 = (2 + i) (3 + i) (3 i) (3 + i) = 6 + 2i + 3i + i2 9 + 3i 3i i2 = 5 + 5i 10 = 1 2 + 1 2i.

Polarform

Om du skriver komplekse tall ved å bruke den komplekse eksponentialfunksjonen, kan du dele komplekse tall ved å bruke vanlige regneregler for potensregning:

Formel

Divisjon polarform

La z1 = r1ei𝜃1 og z2 = r2ei𝜃2 være komplekse tall. Da er:

z1 z2 = r1ei𝜃1 r2ei𝜃2 = r1 r2ei(𝜃1𝜃2).

På polarform deler du komplekse tall ved å dele normene på hverandre og trekke argumentene fra hverandre. Dette kan visualiseres i det komplekse planet:

Geometrisk fremstilling av divisjon av komplekse tall

På samme måte som med multiplikasjon kan du tenke på divisjon som en skalering og rotering i det komplekse planet. I motsetning til multiplikasjon er rotasjonen i negativ omløpsretning. Dette er fordi divisjon med tallet z er det samme som multiplikasjon med den inverse z1.

Inverse av komplekse tall

For alle komplekse tall z0 finnes det et inverst komplekst tall som betegnes z1. Det inverse tallet z1 har egenskapen z z1 = 1. Du finner z1 ved å løse opp brøken 1 z:

Teori

Invers av komplekse tall

For ethvert komplekst tall z0 finnes det en invers z1:

z1 = 1 z = 1 z z z = z |z|2.

Du kan regne ut den inverse til et komplekst tall z ved å dele den konjugerte av z på kvadratet av normen til z. Om du ikke husker denne formelen for den inverse kan du alltid finne den inverse ved å løse z1 = 1 z.

Eksempel 2

Regn ut den inverse til det komplekse tallet z = 4 3i. Undersøk deretter om du har funnet riktig invers.

For å finne den inverse til z trenger du både den konjugerte til z og normen til z. Her er den konjugerte z = 4 + 3i og normen |z| = 5. Da blir det inverse tallet:

z1 = z |z|2 = 4 + 3i 25 = 4 25 + 3 25i.

For å sjekke om du har funnet riktig invers kan du se om z1 oppfyller z z1 = 1:

z z1 = (4 3i) ( 4 25 + 3 25i) = 16 25 + 12 25i 12 25i 9 25i2 = 16 25 + 9 25 = 1.

Produktet av z og z1 er 1. Den inverse er riktig.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!