Hvordan løse andregradslikninger med komplekse tall

For denne likningen er koeffisientene $a=1$, $b=-4$, $c=5$. Du kan da bruke $abc$-formelen for å finne løsningene:

$$\begin{array}{llll}\hfill z& =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{4\pm \sqrt{-4}}{2}.& \hfill & \end{array}$$

Du har nå negativt verdi under rottegnet, så likningen har ingen reelle løsninger. Ved å bruke den imaginære enheten kan du trekke kvadratroten av $-4$:

Løsningene på likningen er derfor:

$$\begin{array}{cc}z=\frac{4\pm \sqrt{-4}}{2}=\frac{4\pm 2i}{2}=2\pm i.& \\ \Downarrow & \\ z_1=2+i\text{og}{z}_2=2-i.& \end{array}$$

For denne likningen er koeffisientene $a=\frac{1}{2}$, $b=i$, $c=\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Du kan da bruke $abc$-formelen på vanlig måte, selv om koeffisientene er komplekse:

$$\begin{array}{llll}\hfill z& =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{-i\pm \sqrt{i^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}i}{2\cdot \frac{1}{2}}& \hfill & \\ \hfill & =-i\pm \sqrt{-1-\sqrt{3}i}.& \hfill & \end{array}$$

Alle komplekse tall har to komplekse kvadratrøtter. Her trenger du kun å bry deg om den kvadratroten som har argument i intervallet $[0,\pi ⟩$. Dette er fordi $\pm \sqrt{w}$ plukker opp begge kvadratrøttene til $w$.

For å trekke kvadratroten av det komplekse tallet $w=-1-\sqrt{3}i$ må du først skrive $w$ på polarform. Normen til $w$ er her $r=2$. Argumentet til $w$ er $𝜃=\frac{4\pi }{3}$. På polarform er derfor $w=2e^{i\frac{4\pi }{3}}$. Kvadratroten av $w$ finner du ved å ta kvadratroten av normen til $w$ og halvere argumentet til $w$. Kvadratroten til $w$ er derfor $\sqrt{2}{e}^{i\frac{2\pi }{3}}$. På kartesisk form er denne kvadratroten gitt ved $-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i$. Løsningene på likningen blir derfor