>Regning>Hvordan finne komplekse n-te røtter

Hvordan finne komplekse n-te røtter

Tallet $- 1$ har ingen reelle kvadratrøtter fordi det er ingen reelle tall som multiplisert med seg selv blir negativt. Løsningen på dette problemet er å definere den imaginære enheten $i$ som roten av $- 1$ . Ved å bruke $i$ viser det seg at du kan finne generelle $n$ -te røtter av alle tall, inkludert de komplekse tallene:

Teori

Definisjon av $n$ -te rot

Det komplekse tallet $w$ er en $n$ -te rot av $z$ om $w$ oppfyller

w^{n} = z .

En $n$ -te rot av tallet $z$ er et tall som ganget med seg selv $n$ ganger gir $z$ . For å finne $n$ -te røttene til et komplekst tall $z$ , lønner det seg å skrive $z$ på polarform. Om du skriver $z = r e^{i 𝜃}$ kan du enkelt finne et tall $w_{0}$ som oppfyller definisjonen av $n$ -te røtter ved å bruke regneregler for potensregning:

w_{0} = {(r e^{i 𝜃})}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} e^{i \frac{𝜃}{n}} .

For å finne en $n$ -te rot av $z$ tar du $n$ -te roten av normen til $z$ og $n$ -te delen av argumentet til $z$ . Det er derimot mulig å finne flere $n$ -te røtter av $z$ fordi polarformen til $z$ ikke er unik. En rotasjon på $2 π$ radianer endrer ikke verdien til $z$ , så du kan skrive

z = r e^{i (𝜃 + 2 π \cdot k)},

for et vilkårlig heltall $k \in ℤ$ . Ved å bruke potensreglene får du et generelt uttrykk for $n$ -te røttene til $z$ :

w_{k} = r^{\frac{1}{n}} e^{i (\frac{𝜃}{n} + \frac{2 π}{n} \cdot k)} .

Hvert heltall $k$ vil gi deg en ny $n$ -te rot $w_{k}$ , så lenge $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$ . Om $k$ blir $n$ eller større, vil du ikke lengre få nye $n$ -te røtter. Dette er fordi du nå har rotert $2 π$ radianer og er tilbake til utgangspunktet $w_{0}$ .

Formel

$n$ -te røtter

For alle komplekse tall $z = r e^{i 𝜃} \neq 0$ finnes det $n$ ulike $n$ -te røtter $w_{0}, w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n - 1}$ gitt ved

w_{k} = r^{\frac{1}{n}} e^{i (\frac{𝜃}{n} + \frac{2 π}{n} \cdot k)},

for heltallig $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1 .$

Alle $n$ -te røttene til $z$ har samme norm, og forskjellen i argument mellom $w_{k}$ og $w_{k - 1}$ er $\frac{2 π}{n}$ . Dette gjør at om du kjenner $w_{k}$ kan du finne $w_{k + 1}$ ved

w_{k + 1} = w_{+} \cdot w_{k},

der $w_{+} = e^{i \frac{2 π}{n}}$ . Dette er fordi en multiplikasjon med $w_{+}$ kan tenkes på som en rotasjon av $\frac{2 π}{n}$ radianer i det komplekse planet.

Strategien for å finne $n$ -te røttene til $z$ er først å finne $w_{0} = z^{\frac{1}{n}}$ og deretter finne de øvrige $n - 1$ røttene ved å gange med $w_{+}$ .

Eksempel 1

Finn fjerderøttene til $z = - 81$

For å finne fjerderøttene lønner det seg å skrive $z$ på polarform. Her er normen $r = 81$ , og argumentet $𝜃 = π$ . På polarform er derfor

z = 81 e^{i π} .

Videre kan du finne $w_{0}$ :

w_{0} = z^{\frac{1}{4}} = 3 e^{i \frac{π}{4}}

og $w_{+}$ :

w_{+} = e^{i \frac{2 π}{4}} = e^{i \frac{π}{2}} .

Nå kan du finne de øvrige røttene ved å bruke sammenhengen $w_{k + 1} = w_{+} \cdot w_{k}$ :

\begin{array}{l} w_{1} & = w_{+} \cdot w_{0} \\ = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{π}{4}} \\ = 3 e^{i \frac{3 π}{4}}, \\ w_{2} & = w_{+} \cdot w_{1} \\ = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{3 π}{4}} \\ = 3 e^{i \frac{5 π}{4}}, \\ w_{3} & = w_{+} \cdot w_{2} \\ = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{5 π}{4}} \\ = 3 e^{i \frac{7 π}{4}} . \end{array}

\begin{array}{l} w_{1} & = w_{+} \cdot w_{0} = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{π}{4}} = 3 e^{i \frac{3 π}{4}} \\ w_{2} & = w_{+} \cdot w_{1} = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{3 π}{4}} = 3 e^{i \frac{5 π}{4}} \\ w_{3} & = w_{+} \cdot w_{2} = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{5 π}{4}} = 3 e^{i \frac{7 π}{4}} . \end{array}

Siden oppgaven oppga tallet

z

på kartesisk form, burde du også oppgi svarene på kartesisk form. På kartesisk form er fjerderøttene til

z

\begin{array}{l} w_{0} & = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} i \\ w_{1} & = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} i \\ w_{2} & = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} i \\ w_{3} & = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} i . \end{array}

Siden alle $n$ -te røttene til et tall har samme norm vil $n$ -te røttene $w_{0}, w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n - 1}$ fordeles uniformt utover en sirkel i det komplekse planet. Fjerderøttene til $81$ fra Eksempel 1 ligger på en sirkel i det komplekse planet med radius $3$ , og vinkelen mellom hver rot er $\frac{π}{2}$ radianer.

Fjerderøttene til 81 visualisert i det komplekse plan.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hvordan forenkle komplekse brøker

Neste oppslag

Hva er de Moivres formel og hvordan bruker du den?

Tilbake

Definisjon av n-te rot

n-te røtter

Definisjon av $n$ -te rot

$n$ -te røtter