>Likninger>Hvordan faktorisere komplekse polynomer

Hvordan faktorisere komplekse polynomer

I oppslaget om andregradslikninger med komplekse tall ser du at alle andregradslikninger har to komplekse løsninger. Det betyr at alle andregradspolynomer kan faktoriseres og skrives som et produkt av to komplekse førstegradspolynomer.

Regel

Faktorisering av andregradspolynomer

Alle andregradspolynomer

f (z) = a z^{2} + b z + c

kan skrives på formen

f (z) = (z - r_{1}) (z - r_{2}),

der $r_{1}, r_{2} \in ℂ$ er komplekse løsninger av likningen $f (z) = 0$ .

Du finner faktorene til andregradspolynomet

f (z)

ved å løse likningen

f (z) = 0

ved

a b c

-formelen. Løsningene av

f (z) = 0

kalles nullpunktene til

f (z)

eller røttene til

f (z)

. Ordet «røttene» til

f (z)

i betydningen av nullpunktene til

f (z)

må ikke forveksles med

n

-te røttene til komplekse tall. Om du løser likningen

f (z) = 0

og får én løsning

r

, heter det at

r

er en rot i

f (z)

med multiplisitet 2. Multiplisiteten til

r

er mål på antall ganger

(z - r)

går opp i

f (z)

. Faktorisering av algebraiske uttrykk deles opp i reell faktorisering og kompleks faktorisering. I reell faktorisering skal du skrive uttrykket som et produkt av faktorer med reelle tall. I kompleks faktorisering skal du skrive uttrykket som et produkt av faktorer med reelle og komplekse tall.

Regel

Kompleks og reell faktorisering

I kompleks faktorisering har alle faktorene grad 1. Faktorene kan både ha komplekse og reelle tall.
I reell faktorisering har faktorene enten grad 1 eller grad 2. Andregradsfaktorene har kun komplekse røtter. Faktorene kan bare ha reelle tall.

Eksempel 1

Utfør den komplekse faktoriseringen av uttrykket
$f (z) = z^{2} + i z + 2$

Du ønsker nå å skrive uttrykket på formen $f (z) = (z - r_{1}) (z - r_{2})$ , der $r_{1}, r_{2}$ er løsninger av likningen $f (z) = 0$ . Denne likningen løser du ved å bruke $a b c$ -formelen med koeffisientene $a = 1$ , $b = i$ , $c = 2$ : $\begin{array}{l} z & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = \frac{- i \pm \sqrt{- 1 - 8}}{2} \\ = \frac{- i \pm 3 i}{2} . \end{array}$

Løsningene av likningen $f (z) = 0$ er derfor $z_{1} = - 2 i$ og $z_{2} = i$ . Med dette er den komplekse faktoriseringen av $f (z)$ gitt ved

f (z) = (z + 2 i) (z - i) .

Med komplekse tall kan du ikke bare faktorisere andregradsuttrykk inn i to lineære faktorer. Algebraens fundamentalteorem sier at du kan faktorisere uttrykk av grad $n$ inn i $n$ lineære faktorer med multiplisitet. Faktorer med multiplisitet betyr at faktorene kan fremkomme flere ganger i faktoriseringen.

For å finne alle faktorene i komplekse polynomer av høyere grad kan du for eksempel bruke polynomdivisjon.

Eksempel 2

Vis at $z = 1$ er en rot i polynomet

f (z) = z^{3} - 7 z^{2} + 31 z - 25,

og utfør reell og kompleks faktorisering av $f (z)$

Om $z = 1$ er en rot i $f (z)$ er $f (1) = 0$ :

\begin{array}{l} f (1) & = 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 31 \cdot 1 - 25 \\ = 0 . \end{array}

f (1) = 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 31 \cdot 1 - 25 = 0 .

Siden

z = 1

er en rot av polynomet, vet du at polynomdivisjonen

f (z) : (z - 1)

går opp:

Polynomdivisjon av f(z) og z - 1

Resultatet av polynomdivisjonen er uttrykket $z^{2} - 6 z + 25$ . For å faktorisere videre skal du finne løsningene av likningen

z^{2} - 6 z + 25 = 0 .

Fra $a b c$ -formelen får du

\begin{array}{l} z & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 100}}{2} \\ = \frac{6 \pm 8 i}{2} \\ = 3 \pm 4 i . \end{array}

Nå har du totalt tre løsninger av likningen $f (z) = 0$ . Siden $f (z)$ er et tredjegradspolynom, vet du at det ikke finnes mer enn tre røtter. Siden løsningene av $z^{2} - 6 z + 25 = 0$ er komplekse tall, er det ikke mulig å dele opp $z^{2} - 6 z + 25$ i reelle faktorer. Den reelle faktoriseringen av $f (z)$ er derfor

f (z) = (z - 1) (z^{2} - 6 z + 25) .

Videre bruker du alle røttene til å skrive ut den komplekse faktoriseringen av $f (z)$ :

(z - 1) (z - (3 - 4 i)) (z - (3 + 4 i)) .

f (z) = (z - 1) (z - (3 - 4 i)) (z - (3 + 4 i)) .

I Eksempel 2 så du at de komplekse røttene til polynomet er konjugerte av hverandre. Dette er ikke en tilfeldighet. I alle reelle polynomer opptrer røtter i konjugerte par. Reelle polynomer er polynomer med utelukkende reelle koeffisienter.

Regel

Om $r \in ℂ ∖ ℝ$ er en ikke-reell rot av et reelt polynom $f (z)$ , er også den konjugerte $\overset{}{r} \in ℂ$ en rot av $f (z)$ .

Eksempel 3

Vis at $r = 1 + i$ er en rot i polynomet
$f (z) = z^{2} - 2 z + 2,$

og utfør kompleks faktorisering av $f (z)$

Du kan vise at $r = 1 + i$ er en rot i $f (z)$ ved å sjekke at $f (r) = 0$ : $\begin{array}{l} f (r) & = {(1 + i)}^{2} - 2 (1 + i) + 2 \\ = 1 + 2 i + i^{2} - 2 - 2 i + 2 \\ = 1 + 2 i - 1 - 2 - 2 i + 2 \\ = 0 . \end{array}$

Siden $f (z)$ er et reelt polynom vet du at også $\overset{}{r} = 1 - i$ er en rot i $f (z)$ . Den komplekse faktoriseringen av $f (z)$ er derfor

\begin{array}{l} f (z) & = (z - r) (z - \overset{}{r}) \\ = (z - (1 + i)) (z - (1 + i)) . \end{array}

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hvordan løse andregradslikninger med komplekse tall

Neste oppslag

Hva er algebraens fundamentalteorem?

Tilbake