>Послідовності>Рекурсивні та явні формули для вираження послідовностей

Рекурсивні та явні формули для вираження послідовностей

Послiдовностi й ряди чисел можна виражати за допомогою рекурсивних i явних формул. Рекурсивний означає такий, що повертається або такий, що повторюється. Отже, рекурсивнi формули передбачають використання попереднiх членiв для знаходження нових членiв. Попереднi члени, так би мовити, постiйно повертаються. Натомiсть явний означає вiдображуваний або зрозумiлий. Явнi формули виражають члени через унiкальнi iндекси.

Теорiя

Рекурсивнi формули

У рекурсивнiй формулi член послiдовностi виражається через попереднi члени.

Послiдовнiсть визначає, який вигляд матиме рекурсивна формула.

Кожна послiдовнiсть, яка вiдповiдає шаблону, має власну рекурсивну формулу. Втiм, недолiком рекурсивних формул є те, що в бiльшостi випадкiв їх доводиться знаходити шляхом перевiрки. Через це не iснує чiткого порядку дiй, який працюватиме для кожної послiдовностi. Але є й позитивний бiк:

Правило

Як знайти рекурсивну формулу

1.

Щоб скласти формулу на основi фiгури, з’ясуй, як змiнюється фiгура, i використай це як iнструмент.

2.

Рекурсивна формула для арифметичної послiдовностi має такий вигляд:

a_{n + 1} = a_{n} + d .

3.

Рекурсивна формула для геометричної послiдовностi має такий вигляд:

a_{n + 1} = a_{n} \cdot k .

Приклад 1

Всесвiтньо вiдома послiдовнiсть Фiбоначчi має вигляд

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 \dots

Ця послiдовнiсть сама собою є рекурсивною, адже її попереднi члени визначають, яким буде наступний член. З цiєї формули бачимо, що кожен наступний член послiдовностi залежить вiд значення двох попереднiх членiв:

\begin{array}{l} a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}, \\ де a_{1} = 1, a_{2} = 1 . \end{array}

a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}, де a_{1} = 1, a_{2} = 1 .

Як бачимо,

a_{5} = a_{4} + a_{3} = 5 + 3 = 8

, а це вiдповiдає послiдовностi.

Приклад 2

Трикутнi числа

1, 3, 6, 10, 15, 21 \dots

збiльшуються шляхом додавання однiєї нової дiагоналi на наявному трикутнику (важливо познайомитися з цими послiдовностями, що стосуються фiгур). Рекурсивна формула має вигляд

a_{n + 1} = a_{n} + (n + 1), a_{1} = 1 .

Ця формула полягає в тому, що ми додаємо до наявного трикутника ряд, що завжди має $n + 1$ точок. Як бачимо,

\begin{array}{l} a_{2} & = a_{1} + (1 + 1) = 1 + 2 = 3, \\ a_{3} & = a_{2} + (2 + 1) = 3 + 3 = 6 . \end{array}

Теорiя

Явнi формули

Явнi формули — це алгебраїчнi вирази для заданих членiв послiдовностi, де $n$ -й член обчислюється через iндекс $n$ .

Кожна послiдовнiсть, що вiдповiдає шаблону, має власну явну формулу. Недолiком явних формул є те, що найчастiше їх потрiбно знаходити шляхом перевiрки. Через це не iснує чiткого порядку дiй, який працюватиме для кожної послiдовностi. На щастя, є й позитивний бiк:

Правило

Як знайти явну формулу

1.

Щоб скласти формулу на основi фiгури, спробуй роздiлити фiгуру на меншi частини, що складаються з вiдомих геометричних фiгур: трикутникiв, чотирикутникiв тощо.

2.

Явна формула для арифметичної послiдовностi має такий вигляд:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d .

3.

Явна формула для геометричної послiдовностi має такий вигляд:

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1} .

Приклад 3

Послiдовнiсть непарних чисел має такий вигляд:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 \dots

Як ми вже знаємо, усi числа, якi дiляться на $2$ , є парними. А отже, явна формула для парних чисел має вигляд $a_{n} = 2 n$ , де $n$ є цiлим числом. Також вiдомо, що кожне друге цiле число є непарним числом, а кожне непарне число знаходиться мiж двома парними. Це означає, що непарнi числа можна виразити через $2 n - 1$ . Тодi явна формула для $n$ -го члена має вигляд

a_{n} = 2 n - 1 .

Приклад 4

Послiдовнiсть трикутних чисел має вигляд

1, 3, 6, 10, 15, 21 \dots

Складаємо явну формулу за допомогою формули знаходження площi трикутника: $A = \frac{b \cdot h}{2}$ . Якщо скласти два трикутники разом, то отримаємо чотирикутник, довжина $l$ якого на одну точку бiльша за висоту $h$ .

Явна формула знаходження n-го трикутного числа, виражена у геометричний спосiб

Загалом, якщо висота — це

n

, то довжина буде

n + 1

. Якщо пiдставити цi значення у формулу знаходження площi, отримаємо

a_{n} = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{(n + 1) n}{2} .

Це явна формула знаходження трикутних чисел.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Квадратні числа, кубичні числа, трикутні числа та інші фігурні числа

Повернутися