Коло Аполлонія
Коло Аполлонiя — це ще один пiдхiд до визначення кола, заданого вiдрiзком .
Теорiя
Коло Аполлонiя
Коло Аполлонiя — це геометричне мiсце всiх точок , що задовольняють для даного кута . Рiзнi значення призводять до рiзних кiл. Вiдрiзок стає хордою цього кола, а кут стає вписаним кутом, що охоплює дугу кола .
Трикутник рiвнобедрений, оскiльки обидвi бiчнi сторони та дорiвнюють радiусу кола. Отже, нам вiдомо, що та рiвнi. Тепер можна побудувати їх у точках та , де дано, за допомогою такої формули:
| (1) |
Точка, де кутовi променi зустрiчаються один з iншим, є центром кола, що проходить через точки та . Тепер можна використати радiус i центр для побудови кола за допомогою циркуля.
Приклад 1
Побудуй трикутник , у якого , кут , вiдстань вiд вершини до сторони становить , i вершина знаходиться ближче до вершини , нiж .
Накреслимо допомiжну фiгуру:
Починаємо з побудови сторони . Потiм ми проводимо перпендикуляри вiд вершин та й опускаємо висоту см.
Тепер ми маємо знайти спосiб побудувати , й саме тут використаємо коло Аполлонiя. Єдине, що нам вiдомо, це те, що повинен бути розташований на пунктирнiй лiнiї, яка знаходиться за см вiд сторони , але ми не знаємо, де саме.
З iншого боку, нам вiдомо з кола Аполлонiя, що якщо накреслимо коло, яке проходить через вершини та , центр кола утворює центральний кут будь-якого вписаного кута, стороною якого є . Отже, можна використати для знаходження кутiв та . Використаємо таку формулу (1):
Отже, будуємо кут ° з опорами на вершини та так, щоб вони повернулися всередину. Точка перетину цих кутових променiв є центром кола Аполлонiя.
Оскiльки i , i дорiвнюють °, кут .
Це вiдповiдає тому, що є центральним кутом . Отже, тепер можна накреслити коло з центром у точцi i радiусом . знаходиться там, де коло перетинає пунктирну лiнiю. Це вiдбувається у двох точках, але в умовi завдання сказано обрати точку, ближчу до вершини . Тож проведемо прямi мiж вершинами , та , й отримаємо готовий трикутник. Хiба вiн не гарний?
