Можна використовувати степiнь точки вiдносно кола, щоб знайти довжини та кути геометричних фiгур, якi включають кола.
Формула
Ця формула виходить з того, що трикутники та подiбнi. Вони подiбнi, тому що в них два рiвнi кути. Це означає, що третiй кут такого самого розмiру. Обидва трикутники мають спiльний кут , а , тому що вони охоплюють один i той самий круговий сектор, сектор мiж точками та . Це означає, що можна використати вiдношення мiж вiдповiдними сторонами, щоб отримати наведену вище формулу:
Деякi прямi перетинають коло лише в однiй точцi—вони називаються дотичними. Якщо одна iз прямих є дотичною, теорема степенi точки вiдносно кола стає такою
Це має сенс, тому що можна уявити, що є двi точки перетину та , якi лежать прямо одна над iншою й знаходяться на однаковiй вiдстанi вiд точки . У такому разi . Якщо ми вставимо це у вихiдну формулу, отримаємо другу формулу:
Приклад 1
Коло перетинає двi прямi в точках , , та . Цi самi двi прямi перетинаються в точцi поза колом. Зважаючи, що , , , яка довжина ?
У цьому прикладi легко розпiзнати теорему степенi точки вiдносно кола, а це означає, що можна вставити заданi довжини безпосередньо у формулу. Потiм можна розв’язати рiвняння вiдносно . Отримаємо
Приклад 2
Двi прямi перетинають коло радiусом . Одна з прямих проходить через центр кола й перетинає коло в точках та . Iнша пряма перетинає коло в точках та . Цi двi прямi також перетинаються в точцi поза колом. Зважаючи, що та , яка довжина ?
Оскiльки обидвi прямi перетинають коло, ми маємо використати теорему степенi точки вiдносно кола. Єдина проблема полягає в тому, що ми ще не знаємо довжину . Нам вiдомо, що пряма, яка перетинає коло в точках та , також проходить через центр кола, це означає, що вiдстань мiж точками та вдвiчi бiльша за довжину радiуса. Це дає нам , що знову дає нам . Тепер можна вставити це в теорему степенi точки вiдносно кола разом з та , й розв’язати рiвняння вiдносно :