Що таке теорема степені точки відносно кола?

Можна використовувати степiнь точки вiдносно кола, щоб знайти довжини та кути геометричних фiгур, якi включають кола.

Формула

Теорема степенi точки вiдносно кола

Якщо, маючи точку P поза колом, проведемо двi прямi з точки P через коло, назвавши точки, де одна з прямих перетинає коло, A та B, а точки, де iнша пряма перетинає коло, C i D, так, як на наведеному нижче рисунку, то отримаємо таку формулу:

PA PB = PC PD.

Теорема степенi точки вiдносно кола 1

Ця формула виходить з того, що трикутники PBD та PCA подiбнi. Вони подiбнi, тому що в них два рiвнi кути. Це означає, що третiй кут такого самого розмiру. Обидва трикутники мають спiльний кут P, а PBD = PCA, тому що вони охоплюють один i той самий круговий сектор, сектор мiж точками A та D. Це означає, що можна використати вiдношення мiж вiдповiдними сторонами, щоб отримати наведену вище формулу:

PB PC = PD PA | PA PA PB PC = PD | PC PA PB = PD PC

Теорема степенi точки вiдносно кола 2

Деякi прямi перетинають коло лише в однiй точцi—вони називаються дотичними. Якщо одна iз прямих є дотичною, теорема степенi точки вiдносно кола стає такою

(PA)2 = PC PD.

Це має сенс, тому що можна уявити, що є двi точки перетину A та B, якi лежать прямо одна над iншою й знаходяться на однаковiй вiдстанi вiд точки P. У такому разi PB = PA. Якщо ми вставимо це у вихiдну формулу, отримаємо другу формулу:

PA PB = PC PD PA PA = PC PD (PA)2 = PC PD

Приклад 1

Коло перетинає двi прямi в точках A, B, C та D. Цi самi двi прямi перетинаються в точцi P поза колом. Зважаючи, що PA = 2, PB = 4, PC = 6, яка довжина PD?

У цьому прикладi легко розпiзнати теорему степенi точки вiдносно кола, а це означає, що можна вставити заданi довжини безпосередньо у формулу. Потiм можна розв’язати рiвняння вiдносно PD. Отримаємо

PA PB = PD PC 2 4 = PD 6 PD = 8 6 = 4 3.

Приклад 2

Двi прямi перетинають коло радiусом r = 5. Одна з прямих проходить через центр кола й перетинає коло в точках A та B. Iнша пряма перетинає коло в точках C та D. Цi двi прямi також перетинаються в точцi P поза колом. Зважаючи, що PA = 4 та PC = 5, яка довжина PD?

Оскiльки обидвi прямi перетинають коло, ми маємо використати теорему степенi точки вiдносно кола. Єдина проблема полягає в тому, що ми ще не знаємо довжину PB. Нам вiдомо, що пряма, яка перетинає коло в точках A та B, також проходить через центр кола, це означає, що вiдстань мiж точками A та B вдвiчi бiльша за довжину радiуса. Це дає нам AB = 2r = 2 5 = 10, що знову дає нам PB = PA + AB = 4 + 10 = 14. Тепер можна вставити це в теорему степенi точки вiдносно кола разом з PA = 4 та PC = 5, й розв’язати рiвняння вiдносно PD:

PA PB = PD PC 4 14 = PD 5 PD = 56 5 = 11.2

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!