На наведеному вище рисунку показане важливе явище в геометрiї, а саме те, що ортоцентр, центроїд i центр описаного кола трикутника лежать на однiй прямiй. Ця пряма називається прямою Ейлера.
Теорiя
Пряма Ейлера — це пряма, що проходить через ортоцентр, центроїд i центр описаного кола трикутника.
Приклад 1
Дано точки , та . Чи можуть цi точки бути ортоцентром, центроїдом i центром описаного кола трикутника?
Щоб дiзнатися, використаємо рiвняння прямої з кутовим коефiцiєнтом
з двома точками й перевiримо, чи третя точка знаходиться на прямiй. Спершу знаходимо кутовий коефiцiєнт :
Пiсля цього використаємо одну з точок, якi ми застосовували для розрахунку кутового коефiцiєнта, й додаємо її до формули. Тодi отримаємо:
Тепер пiдставмо останню точку у вираз та погляньмо, чи вона задовольняє рiвнiсть:
Отже, можна дiйти висновку, що три точки не можуть бути ортоцентром, центроїдом i центром описаного кола трикутника. Якби це було так, всi вони лежали б на прямiй Ейлера.