Що таке пряма Ейлера?

Пряма Ейлера трикутника

На наведеному вище рисунку показане важливе явище в геометрiї, а саме те, що ортоцентр, центроїд i центр описаного кола трикутника лежать на однiй прямiй. Ця пряма називається прямою Ейлера.

Теорiя

Пряма Ейлера

Пряма Ейлера — це пряма, що проходить через ортоцентр, центроїд i центр описаного кола трикутника.

Приклад 1

Дано точки (1, 2), (1, 3) та (2, 0). Чи можуть цi точки бути ортоцентром, центроїдом i центром описаного кола трикутника?

Щоб дiзнатися, використаємо рiвняння прямої з кутовим коефiцiєнтом

y y1 = a(x x1)

з двома точками й перевiримо, чи третя точка знаходиться на прямiй. Спершу знаходимо кутовий коефiцiєнт a:

a = Δy Δx = 2 3 1 (1) = 1 2 .

Пiсля цього використаємо одну з точок, якi ми застосовували для розрахунку кутового коефiцiєнта, й додаємо її до формули. Тодi отримаємо:

y 2 = 1 2(x 1) y = 1 2x + 1 2 + 2 = 1 2x + 5 2

Тепер пiдставмо останню точку (2, 0) у вираз y та погляньмо, чи вона задовольняє рiвнiсть:

03 2 = 1 2 2 + 5 2

Отже, можна дiйти висновку, що три точки не можуть бути ортоцентром, центроїдом i центром описаного кола трикутника. Якби це було так, всi вони лежали б на прямiй Ейлера.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!