Приклади біноміального розподілу

1 з 5 пасажирiв не має квитка. Потрiбно визначити, у скiлькох пасажирiв немає квитка. Це означає, що

Так отримуємо бiномiальний розподiл з $n=20$ i $p=0.2$.

1.

Передусiм потрiбно визначити ймовiрнiсть того, що рiвно в одного з 20 пасажирiв немає квитка. У цьому разi $k=1$, а формула набуває вигляду $$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=1\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{20}{1}\right)p^1{(1-p)}^{20-1}& \hfill & \\ \hfill & =20\cdot 0.2\cdot 0.8^{19}& \hfill & \\ \hfill & \approx 0.06.& \hfill & \end{array}$$

Iмовiрнiсть того, що рiвно в одного пасажира з $20$ немає квитка, складає близько $6$ %.

2.

Пiсля цього потрiбно визначити ймовiрнiсть того, що рiвно в п’яти з 20 пасажирiв немає квитка. У цьому разi $k=5$, а формула набуває вигляду $$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=5\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{20}{5}\right)p^5{(1-p)}^{20-5}& \hfill & \\ \hfill & =15504\cdot 0.2^5\cdot 0.8^{15}& \hfill & \\ \hfill & \approx 0.17.& \hfill & \end{array}$$

Iмовiрнiсть того, що рiвно в п’яти пасажирiв iз 20 немає квитка, складає близько $17$ %.

3.

Насамкiнець потрiбно визначити ймовiрнiсть того, що принаймнi у трьох з 20 пасажирiв немає квитка. Це означає, що у 3, 4, 5 i бiльше пасажирiв iз 20 немає квитка. Оскiльки це чимало результатiв, то доцiльно натомiсть звернутися до взаємодоповнювальних подiй. Наш запит — це те саме, що сказати, що подiя «0, 1 або 2 з 20 пасажирiв не мають квитка» врештi не вiдбулася. Отримуємо

$$P\left(X\ge 3\right)=1-P\left(X=\text{0, 1 або 2}\right).$$

Щоб розрахувати $P\left(X=\text{0, 1 або 2}\right)$, потрiбно додати $P\left(X=0\right),P\left(X=1\right)$ i $P\left(X=1\right)$, щоби першим завданням перевiзника було їх знаходження за формулою, яку ми використовували у Пункт  2 i 3.

• $$

  P (X = 0) = (20 0 ) 0.20⋅ (1 − 0.2)20−0 = 0.820 ≈ 0.01
  P (X = 0) = (20 0 ) 0.20(1 − 0.2)20−0 = 0.820 ≈ 0.01

• Ми вже розрахували $P\left(X=1\right)$ у Пункт 2, отримавши $P\left(X=1\right)=0.06$.

• $$

  P (X = 2) = (20 2 ) 0.22⋅ (1 − 0.2)20−2 ≈ 0.14
  P (X = 2) = (20 2 ) 0.22(1 − 0.2)20−2 ≈ 0.14

Тепер бачимо, що

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=\text{0, 1 або 2}\right)& =P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)& \hfill & \\ \hfill & +P\left(X=3\right)& \hfill & \\ \hfill & =0.21.& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=\text{0, 1 або 2}\right)& =P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)+P\left(X=3\right)& \hfill & \\ \hfill & =0.21.& \hfill & \end{array}$$

Тепер нарештi можна обчислити

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X\ge 3\right)& =1-P\left(X=\text{0, 1 або 2}\right)& \hfill & \\ \hfill & =0.79,& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{lll}\hfill P\left(X\ge 3\right)=1-P\left(X=\text{0, 1 або 2}\right)=0.79,& & \hfill \end{array}$$

а отже, ймовiрнiсть того, що принаймнi у трьох iз 20 пасажирiв немає квитка, становить близько $79$ %.

Iмовiрнiсть вгадати правильну вiдповiдь на запитання з чотирма варiантами вiдповiдi становить $\frac{1}{4}=0.25=25\text{\%}$.

1.

Вiкторина складається з 50 запитань, тому $n=50$. Стiвеновi потрiбно правильно вiдповiсти на всi з них, щоб досягти $k=50$. А отже, отримуємо

$$P\left(X=k\right)=\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{n}{k}\right)p^k{(1-p)}^{n-k},$$

що стає

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=50\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{50}\right)\cdot 0.25^{50}\cdot {(1-0.25)}^{50-50}& \hfill & \\ \hfill & =1\cdot 0.25^{50}\cdot 0.75^0& \hfill & \\ \hfill & \approx 7.89\cdot 10^{-31}.& \hfill & \end{array}$$

На жаль, Стiвен навряд чи коли-небудь потрапить до Парижа.

2.

Вiкторина складається з 50 запитань, тому $n=50$. Щоб правильно вiдповiсти на 30 запитань, Стiвеновi потрiбно $k=30$:

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=30\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{30}\right)\cdot 0.25^{30}& \hfill & \\ \hfill & \cdot {(1-0.25)}^{20}& \hfill & \\ \hfill & \approx 1.30\cdot 10^{-7},& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=30\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{30}\right)\cdot 0.25^{30}\cdot {(1-0.25)}^{20}& \hfill & \\ \hfill & \approx 1.30\cdot 10^{-7},& \hfill & \end{array}$$

що означає, що вiн навряд чи поїде й на Гаваї.

3.

Щоб правильно вiдповiсти на п’ять запитань, потрiбно дати вiд 5 до 50 правильних вiдповiдей. Потрiбно знайти ймовiрнiсть того, що $X\ge 5$. Вона така сама, як i ймовiрнiсть того, що $X$ не є 0, 1, 2, 3 або 4. Це означає, що можна скористатися правилом для взаємодоповнювальних подiй $P\left(A\right)=1-P\left(\stackrel{}{A}\right)$ для розрахунку

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X\ge 5\right)& =1-(P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)& \hfill & \\ \hfill & +P\left(X=2\right)& \hfill & \\ \hfill & +P\left(X=3\right)& \hfill & \\ \hfill & +P\left(X=4\right))& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{llll}\hfill P(X\ge 5)& =1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)& \hfill & \\ \hfill & +P(X=3)+P(X=4))& \hfill & \end{array}$$

Щоб знайти ймовiрностi, потрiбно застосувати бiномiальний розподiл. Отримаємо таке:

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=0\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{0}\right)\cdot 0.25^0\cdot {(1-0.25)}^{50}& \hfill & \\ \hfill & \approx 5.66\cdot 10^{-7}& \hfill & \\ \hfill P\left(X=1\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{1}\right)\cdot 0.25^1\cdot {(1-0.25)}^{49}& \hfill & \\ \hfill & \approx 9.43\cdot 10^{-6}& \hfill & \\ \hfill P\left(X=2\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{2}\right)\cdot 0.25^2\cdot {(1-0.25)}^{48}& \hfill & \\ \hfill & \approx 7.7\cdot 10^{-5}& \hfill & \\ \hfill P\left(X=3\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{3}\right)\cdot 0.25^3\cdot {(1-0.25)}^{47}& \hfill & \\ \hfill & \approx 4.1\cdot 10^{-4}& \hfill & \\ \hfill P\left(X=4\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{4}\right)\cdot 0.25^4\cdot {(1-0.25)}^{46}& \hfill & \\ \hfill & \approx 1.60\cdot 10^{-3}& \hfill & \end{array}$$

Сума цих iмовiрностей становить

$$0.002.$$

Якщо пiдставити її до виразу вище, отримаємо

$$P\left(X\ge 5\right)\approx 1-0.002=0.998.$$

Схоже, що Стiвен принаймнi зможе безкоштовно вiдвiдати Музей природничої iсторiї.