Hva er algebraens fundamentalteorem?

Teorien om komplekse tall kulminerer i algebraens fundamentalteorem. Som navnet tilsier er algebraens fundamentalteorem et viktig resultat. Dette er fordi teoremet garanterer at alle algebraiske likninger med komplekse koeffisienter har løsninger. En algebraisk likning er en likning som kan skrives på formen f (x) = g (x), der f (x) og g (x) er polynomer.

Regel

Algebraens fundamentalteorem

La fn (z) være et komplekst polynom

cnzn + c n1zn1 + + c 1z + c0

av grad n med koeffisienter cn,cn1,,c1,c0 . Da finnes det komplekse tall r1,r2,,rn slik at

fn (z) = cn (z r1) (z rn) .

fn (z) = cn (z r1) (z r2) (z rn) .

Algebraens fundamentalteorem sier at fn (z) har n entydig bestemte nullpunkter r1,r2,rn . Nullpunktene til fn (z) kalles også for røttene til fn (z). Denne betydningen av ordet «rot» må ikke forveksles med n-te røttene til et komplekst tall. Selv om fn (z) har n entydig bestemte røtter, betyr ikke dette at alle nullpunktene til fn (z) nødvendigvis er ulike. Røttene til fn (z) som forekommer flere ganger har multiplisitet over 1. Multiplisiteten til en rot r er mål på antall ganger (z r) går opp i fn (z). Den riktige tolkningen av algebraens fundamentalteorem er derfor at fn (z) har n ulike røtter om man teller med multiplisitet. Algebraens fundamentalteorem sikrer at alle polynomer av grad n kan faktoriseres i n lineære komplekse faktorer.

Bevis av fundamentalteoremet for andregradspolynomer

For andregradspolynomet f2 (z) = az2 + bz + c sier fundamentalteoremet at f2 (z) kan faktoriseres på formen f2 (z) = (z r1) (z r2), der r1 og r2 er røttene til f2 (z). Røttene til f2 (z) finner du ved å bruke abc-formelen

z = b ±b2 4ac 2a .

Om diskriminanten b2 4ac er positiv eller negativ vil abc-formelen gi to forskjellige røtter. Da vil faktoriseringen av f2 (z) ha to forskjellige faktorer. Om diskriminanten er 0, vil abc-formelen gi deg én løsning. For å vise algebraens fundamentalteorem for andregradspolynomer må du vise at hvis f2(z) har én rot r, fremkommer faktoren (z r) to ganger i faktoriseringen av f2 (z). Dette vil da medføre at alle andregradspolynomer kan faktoriseres på formen gitt av fundamentalteoremet.

Løsningene på likningen f2 (z) = 0 finner du ved å bruke abc-formelen. Fra abc-formelen kan du derfor komme tilbake til uttrykket f2 (z) ved å få 0 på den ene siden av likhetstegnet

z = b ±b2 4ac 2a .

Legger til b 2a på begge sider:

z + b 2a = ±b2 4ac 2a .

Opphøyer begge sider i andre:

(z + b 2a) 2 = b2 4ac 4a2 .

Trekker fra b24ac 4a2 på begge sider:

(z + b 2a) 2 b2 4ac 4a2 = 0.

Nå kan f2 (z) skrives på formen

f2 (z) = (z + b 2a)2 b2 4ac 4a2 .

Om b2 4ac = 0, blir andregradspolynomet

f2 (z) = (z + b 2a)2 b2 4ac 4a2 = (z + b 2a)2.

Roten til dette polynomet er r = b 2a. Akkurat som algebraens fundamentalteorem sier, fremkommer faktoren med denne roten to ganger i faktoriseringen av f2 (z):

f2 (z) = (z + b 2a)2 = (z + b 2a) (z + b 2a).

Fordi roten fremkommer to ganger i faktoriseringen kalles dette en dobbeltrot av f2 (z). Alle andregradspolynomer kan skrives som produktet av to lineære faktorer, også når likningen f2 (z) = 0 kun har én løsning. Med dette er algebraens fundamentalteorem for andregradspolynomer bevist.

Q.E.D

For å bevise algebraens fundamentalteorem for generell orden kreves betydelig mer avansert matematikk.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!