Teorien om komplekse tall kulminerer i algebraens fundamentalteorem. Som navnet tilsier er algebraens fundamentalteorem et viktig resultat. Dette er fordi teoremet garanterer at alle algebraiske likninger med komplekse koeffisienter har løsninger. En algebraisk likning er en likning som kan skrives på formen , der og er polynomer.
Regel
La være et komplekst polynom
av grad med koeffisienter . Da finnes det komplekse tall slik at
Algebraens fundamentalteorem sier at har entydig bestemte nullpunkter . Nullpunktene til kalles også for røttene til . Denne betydningen av ordet «rot» må ikke forveksles med -te røttene til et komplekst tall. Selv om har entydig bestemte røtter, betyr ikke dette at alle nullpunktene til nødvendigvis er ulike. Røttene til som forekommer flere ganger har multiplisitet over 1. Multiplisiteten til en rot er mål på antall ganger går opp i . Den riktige tolkningen av algebraens fundamentalteorem er derfor at har ulike røtter om man teller med multiplisitet. Algebraens fundamentalteorem sikrer at alle polynomer av grad kan faktoriseres i lineære komplekse faktorer.
For andregradspolynomet sier fundamentalteoremet at kan faktoriseres på formen , der og er røttene til . Røttene til finner du ved å bruke -formelen
Om diskriminanten er positiv eller negativ vil -formelen gi to forskjellige røtter. Da vil faktoriseringen av ha to forskjellige faktorer. Om diskriminanten er , vil -formelen gi deg én løsning. For å vise algebraens fundamentalteorem for andregradspolynomer må du vise at hvis har én rot , fremkommer faktoren to ganger i faktoriseringen av . Dette vil da medføre at alle andregradspolynomer kan faktoriseres på formen gitt av fundamentalteoremet.
Løsningene på likningen finner du ved å bruke -formelen. Fra -formelen kan du derfor komme tilbake til uttrykket ved å få på den ene siden av likhetstegnet
Legger til på begge sider:
Opphøyer begge sider i andre:
Trekker fra på begge sider:
Nå kan skrives på formen
Om , blir andregradspolynomet
Roten til dette polynomet er . Akkurat som algebraens fundamentalteorem sier, fremkommer faktoren med denne roten to ganger i faktoriseringen av :
Fordi roten fremkommer to ganger i faktoriseringen kalles dette en dobbeltrot av . Alle andregradspolynomer kan skrives som produktet av to lineære faktorer, også når likningen kun har én løsning. Med dette er algebraens fundamentalteorem for andregradspolynomer bevist.
For å bevise algebraens fundamentalteorem for generell orden kreves betydelig mer avansert matematikk.