Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Що таке комплексно-спряжені числа?

Iснує операцiя, яку можна виконувати для роботи з комплексними числами. Вона називається спряженням i також вiдома як спряження комплексних чисел. Комплексно-спряжене число z позначається z — вимовляється як z риска — або z∗.

Теорiя

Для комплексного числа z = a + bi спряжене число задається формулою

z = a − bi.

Для спряження числа z треба змiнити знак уявної частини комплексного числа z. Для чисел, записаних у тригонометричнiй формi, це вiдповiдає змiнi знака аргументу z. На комплекснiй площинi спряження числа z можна розглядати як симетричне вiддзеркалення z через дiйсну вiсь.

Зображення спряження на комплекснiй площинi

Спряжене число до z має таку саму норму й таку саму дiйсну частину, що й z. Це означає, що на дiйснi числа спряження не впливає. Тому дiйснi числа називаються фiксованими точками для спряження. Спряження також є iнволюцiєю, тобто результат спряження є оберненим тому, з чого ми почали. Це означає, що якщо ми двiчi спряжемо комплексне число, ти повернемося у початкову точку. Отже, спряженим числом до спряженого числа до z є z:

z = z.

Приклад 1

Запиши z for z = −1 + 3i як в алгебраїчнiй, так i в тригонометричнiй формах.

Для записування в алгебраїчнiй формi ми знаходимо спряжене число, змiнивши знак уявної частини z. Отже, в алгебраїчнiй формi запису спряжене число до z виглядає так:

z = −1 −3i.

Щоб записати z у тригонометричнiй формi, спочатку потрiбно знайти норму та аргумент z. Тут ми маємо норму r = 2 та аргумент 𝜃 = 2π 3 . Тож у тригонометричнiй формi z дорiвнює z = 2ei2π 3 . Оскiльки ми спрягаємо z, змiнюючи знак аргументу z, спряжене число z має норму r = 2 й аргумент 𝜃 = −2π 3 . У тригонометричнiй формi запису спряжене число до z виглядає так:

z = 2e−i2π 3 .

Важливою властивiстю спряження є те, що добуток комплексного числа z на його власне спряжене число z — це квадрат норми z i, отже, є дiйсним числом:

Формула

Для будь-якого комплексного числа z = a + bi справджується таке:

z ⋅z = (a + bi) (a − bi) = a2 + b2 = |z|2.

z ⋅z = (a + bi) (a − bi) = a2 + b2 = |z|2.

Множення комплексних чисел можна розглядати як комбiнацiю масштабування та обертання на комплекснiй площинi. Аргументи чисел z та z протилежнi: 𝜃 та −𝜃. Отже, добуток z на z є обертанням z вiд 𝜃 до 0. Тож добуток z на z є дiйсним числом.

Норми чисел z та z рiвнi. Тому, множення z можна тлумачити як масштабування z вiд r до r2. Тож добуток z на z є квадратом норми числа z. Ця властивiсть, серед iншого, використовується для дiлення комплексних чисел i знаходження чисел, обернених до комплексних чисел.

Зображення на комплекснiй площинi добутку числа на власне спряжене число.

Правило

Правила спряження

Для комплексних чисел z i w справджується таке:

z + w = z + w, z −w = z − w, z ⋅w = z ⋅ w, z w = (z w ),w≠0.

Згiдно з правилами спряження порядок спряження та арифметичних операцiй не має значення. Це еквiвалентний процес, якщо спочатку виконати арифметичну операцiю, а потiм спрягти результат, або якщо спочатку виконати спряження, а потiм здiйснити операцiю.

Приклад 2

Знайди спряжене число z ⋅ w

Можна використати правила спряження, щоб змiнити порядок спряження та множення

z ⋅ w = z ⋅w.

Опiсля можна скористатися тим фактом, що спряження є iнволюцiєю до спрощення:

z = z.

Отже, спряжене число z ⋅ w дорiвнює

z ⋅ w = z ⋅w = z ⋅w.

Помiркуй

Чи можеш ти знайти подiбнiсть мiж добутком числа на його власне спряжене число й формулою рiзницi квадратiв?

Формула рiзницi квадратiв використовується для розкладання на множники виразiв виду a2 − b2:

a2 − b2 = (a + b) (a − b).

Використовуючи спряження комплексних чисел, тепер ми можемо розкласти на множники вираз виду a2 + b2:

a2 + b2 = (a + bi) (a − bi).

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Що таке формула Ейлера для комплексних чисел?
Повернутися