>Обчислення>Як можна спростити складні дроби

Як можна спростити складні дроби

Тут ти навчишся дiлити комплекснi числа, записанi як в алгебраїчнiй, так i тригонометричнiй формах. Серед iншого, дiлення можна використовувати для знаходження обернених чисел до комплексних чисел.

Алгебраїчна форма

Дiлення комплексних чисел, записаних в алгебраїчнiй формi, ґрунтується на множеннi та спряженнi. Якщо ти маєш дрiб iз комплексними числами в чисельнику та знаменнику, потрiбно записати дрiб так, щоб уявна одиниця не стояла в знаменнику. Це можна зробити, розширивши дрiб з використанням спряженого числа до знаменника, щоб отримати знаменник, що складається тiльки з дiйсних чисел.

Формула

Дiлення комплексних чисел, записаних в алгебраїчнiй формi

Нехай $z_{1} = a + b i$ та $z_{2} = c + d i \neq 0$ — це комплекснi числа, тодi

\begin{array}{l} \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{a + b i}{c + d i}, \\ = \frac{(a + b i) (c - d i)}{(c + d i) (c - d i)}, \\ = \frac{(a c + b d) + (b c - a d) i}{c^{2} + d^{2}}, \\ = \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{b c - a d}{c^{2} + d^{2}} i . \end{array}

Як i для додавання, вiднiмання та множення множина комплексних чисел $ℂ$ замкнена щодо операцiї дiлення. Це означає, що в разi дiлення двох комплексних чисел ми отримуємо нове комплексне число. Як i з дiйсними числами, неможливо подiлити на $0$ — тому ми завжди повиннi бути впевненi, що в знаменнику дробу немає $0$ в будь-якiй точцi.

Приклад 1

Обчисли $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ з комплексними числами $z_{1} = 2 + i$ та $z_{2} = 3 - i$

Щоб обчислити $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ , спочатку потрiбно знайти спряжене число до $z_{2}$ :

\overset{}{z_{2}} = 3 + i .

Тепер можна спростити дрiб шляхом розширення, помноживши на $\overset{}{z_{2}}$ чисельник i знаменник:

\begin{array}{l} \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{z_{1} \cdot \overset{}{z_{2}}}{z_{2} \cdot \overset{}{z_{2}}}, \\ = \frac{(2 + i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}, \\ = \frac{6 + 2 i + 3 i + i^{2}}{9 + 3 i - 3 i - i^{2}}, \\ = \frac{5 + 5 i}{10}, \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i . \end{array}

Тригонометрична форма

Якщо записати комплекснi числа за допомогою показникової функцiї з комплексним показником, можна подiлити комплекснi числа, використовуючи правила пiднесення до степеня.

Формула

Дiлення комплексних чисел, записаних в тригонометричнiй формi

Нехай $z_{1} = r_{1} e^{i 𝜃_{1}}$ та $z_{2} = r_{2} e^{i 𝜃_{2}}$ — це комплекснi числа, тодi

\begin{array}{l} \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{r_{1} e^{i 𝜃_{1}}}{r_{2} e^{i 𝜃_{2}}} \\ = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (𝜃_{1} - 𝜃_{2})} . \end{array}

Щоб подiлити комплекснi числа, записанi в тригонометричнiй формi, треба подiлити норми та вiдняти аргументи. Це можна зобразити на комплекснiй площинi:

Геометричне зображення дiлення комплексних чисел.

Як i множення можна розглядати дiлення як комбiнацiю масштабування та обертання на комплекснiй площинi. На вiдмiну вiд множення, обертання вiдбувається за годинниковою стрiлкою. Це тому, що дiлення з числом $z$ — це те саме, що й множення з iнверсiєю $z^{- 1}$ .

Оберненi числа до комплексних чисел

Для всiх комплексних чисел

z \neq 0

iснує обернене комплексне число, що позначається

z^{- 1}

. Обернене число

z^{- 1}

має значення

z \cdot z^{- 1} = 1

. Щоб знайти

z^{- 1}

, треба спростити дрiб

\frac{1}{z}

Теорiя

Оберненi числа до комплексних чисел

Для кожного комплексного числа

z \neq 0

iснує обернене число

z^{- 1}

\begin{array}{l} z^{- 1} & = \frac{1}{z} \\ = \frac{1 \cdot \overset{}{z}}{z \cdot \overset{}{z}} \\ = \frac{\overset{}{z}}{{| z |}^{2}} . \end{array}

Щоб обчислити обернене число до комплексного числа $z$ , треба подiлити спряжене число до $z$ на квадрат норми $z$ . Якщо ти не пам’ятаєш цю формулу, завжди можна знайти обернене число, розв’язавши $z^{- 1} = \frac{1}{z}$ .

Приклад 2

Обчисли обернене число до комплексного числа $z = 4 - 3 i$ . Потiм перевiр, чи правильне обернене число ти знайшов/знайшла.

Щоб знайти обернене число до $z$ , нам потрiбнi як спряжене число до $z$ , так i норма $z$ . Тут маємо спряжене число $\overset{}{z} = 4 + 3 i$ i норму $| z | = 5$ . Отже, обернене число:

\begin{array}{l} z^{- 1} & = \frac{\overset{}{z}}{{| z |}^{2}} \\ = \frac{4 + 3 i}{25} \\ = \frac{4}{25} + \frac{3}{25} i . \end{array}

Щоб перевiрити, чи ми знайшли правильне обернене число, потрiбно пересвiдчитися, що $z^{- 1}$ задовольняє рiвнiсть $z \cdot z^{- 1} = 1$ : $\begin{array}{l} z \cdot z^{- 1} & = (4 - 3 i) (\frac{4}{25} + \frac{3}{25} i) \\ = \frac{16}{25} + \frac{12}{25} i - \frac{12}{25} i - \frac{9}{25} i^{2} \\ = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} \\ = 1 . \end{array}$

Добуток $z$ на $z^{- 1}$ дорiвнює $1$ . Тож ми знайшли правильне обернене число до $z$ .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як множити комплексні числа

Наступна стаття

Що таке корені комплексного числа?

Повернутися