Оскiльки ми вже познайомилися з нормою та аргументом , всi комплекснi числа можна записати у виглядi
Цей вираз використовується для перезаписування комплексних чисел шляхом переведення їх iз тригонометричної форми запису в алгебраїчну форму запису.
Якщо записати комплекснi числа у цiй формi, можна визначити показнику форму комплексного числа, яку часто називають формулою Ейлера.
Теорiя
Для комплексного числа iз нормою та аргументом показникова форма запису визначається так:
Для записування комплексного числа у показниковiй формi аргумент числа зазначають у показнику степеня разом з уявною одиницею , а норму числа множать на показникову функцiю. Формула Ейлера — це важлива зв’язувальна ланка мiж показовою функцiєю та тригонометричними функцiями.
Приклад 1
Перепиши число в алгебраїчнiй формi
Норма комплексного числа — це число попереду показникової функцiї. Для маємо . Аргумент комплексного числа – це число, яке стоїть разом з у показнику степеня. Для маємо . Якщо скористатися формулою Ейлера, можна записати комплексне число в алгебраїчнiй формi , де
Це означає, що .
Результат, який показав Приклад 1, часто називають тотожнiстю Ейлера. Ця вiдома тотожнiсть пов’язує , , та .
Показникова форма запису комплексних чисел — це компактний спосiб подати комплексне число . Формулу Ейлера можна використовувати для подання комплексних чисел в тригонометричнiй формi. Оскiльки всi комплекснi числа можна записати в тригонометричнiй формi, всi комплекснi числа також можна записати в показниковiй формi.
Приклад 2
Запиши в тригонометричнiй формi, використовуючи формулу Ейлера
Щоб скористатися формулою Ейлера, нам потрiбна норма та аргумент . Щоб знайти норму комплексного числа , послугуємося теоремою Пiфагора:
Потiм можна знайти аргумент комплексного числа за допомогою косинуса:
Оскiльки дiйсна частина додатна, а уявна частина вiд’ємна, лежить у четвертому квадрантi комплексної площини. Отже, аргумент комплексного числа дорiвнює .
Тепер, коли нам вiдома норма та аргумент , можна записати у показниковiй формi:
Коли ми виконуємо обчислення з показниковою функцiєю з комплексним показником, можна послугуватися правилами пiднесення до степеня:
Правило
Для кожного комплексного числа експонента дорiвнює
Коли ми пiдносимо до степеня, що є комплексним числом , ми отримуємо нове комплексне число з нормою та аргументом .
Приклад 3
Знайди для комплексного числа
Знаходимо , використовуючи правило показникової функцiї з комплексним показником:
Помiркуй
Попри те що тригонометрична та алгебраїчна форми запису комплексних чисел є еквiвалентними способами запису того самого числа , цi два методи подання комплексних чисел мають рiзнi переваги та недолiки. Додавати та вiднiмати комплекснi числа простiше, якщо числа записанi в алгебраїчнiй формi. Множити й дiлити комплекснi числа простiше, якщо числа записанi в тригонометричнiй формi. Тому дуже важливо опанувати обидва методи подання комплексних чисел i вмiти перемикатися мiж ними залежно вiд того, який метод запису годиться найкраще.