Тут ти навчишся множити комплекснi числа, записанi як в алгебраїчнiй, так i тригонометричнiй формах.
Комплекснi числа, записанi в алгебраїчнiй формi, треба перемножувати разом, почленно. Це виконується так само, як i множення дiйсних алгебраїчних виразiв з дужками. Множачи комплекснi числа, потрiбно пам’ятати, що уявна одиниця має значення .
Формула
Нехай та — це комплекснi числа, тодi:
Добуток двох комплексних чисел — це нове комплексне число. Математично це формулюється як множина комплексних чисел , замкнена щодо операцiї множення.
Приклад 1
Знайди та для комплексних чисел , й
Знаходимо , множачи на обидва члени в :
Щоб знайти , перемножимо на обидва члени в :
Якщо записати комплекснi числа, використовуючи показникову функцiю з комплексним показником, можна множити комплекснi числа, використовуючи правила пiднесення до степеня.
Формула
Нехай та — це комплекснi числа, тодi
Щоб помножити комплекснi числа, записанi в тригонометричнiй формi, треба помножити норми та додати аргументи. Це можна зобразити на комплекснiй площинi:
Множення комплексних чисел можна розглядати як обертання та масштабування на комплекснiй площинi. Наприклад, множення з уявною одиницею вiдповiдає обертанню на або радiани, оскiльки має норму та аргумент .
Приклад 2
Знайди , якшо та
Щоб знайти норму , потрiбно перемножити норми i :
Щоб знайти аргумент , потрiбно додати аргументи i :
Тодi добуток становить:
Як i в разi дiйсних чисел для комплексних чисел також справджуються властивостi комутативностi, асоцiативностi та дистрибутивностi множення.
Правило
Для всiх комплексних чисел , та справджуються властивiсть комутативностi
асоцiативностi
i дистрибутивностi
Комутативнiсть та асоцiативнiсть означають, що можна довiльно змiнювати порядок чисел i дужок, якщо обчислення складається лише з множення. Дистрибутивнiсть означає, що можна множити комплекснi числа, що знаходяться в дужках, i розкладати на множники комплекснi числа, що знаходяться в дужках.