Як множити комплексні числа

Тут ти навчишся множити комплекснi числа, записанi як в алгебраїчнiй, так i тригонометричнiй формах.

Алгебраїчна форма

Комплекснi числа, записанi в алгебраїчнiй формi, треба перемножувати разом, почленно. Це виконується так само, як i множення дiйсних алгебраїчних виразiв з дужками. Множачи комплекснi числа, потрiбно пам’ятати, що уявна одиниця i має значення i2 = 1.

Формула

Множення комплексних чисел, записаних в алгебраїчнiй формi

Нехай z1 = a + bi та z2 = c + di — це комплекснi числа, тодi:

z1 z2 = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac bd) + (ad + bc)i.

Добуток двох комплексних чисел — це нове комплексне число. Математично це формулюється як множина комплексних чисел , замкнена щодо операцiї множення.

Приклад 1

Знайди z1 z2 та z2 z3 для комплексних чисел z1 = 3i, z2 = 5 + 2i й z3 = 1 i

Знаходимо z1 z2, множачи z1 на обидва члени в z2:

z1 z2 = 3i (5 + 2i) = 3i 5 + 3i 2i = 15i + 6i2 = 6 + 15i.

Щоб знайти z2 z3, перемножимо z2 на обидва члени в z3:

= z2 z3 = (5 + 2i) (1 i) = 5 1 + 5 (i) + 2i 1 + 2i (i) = 5 5i + 2i 2i2 = (5 + 2) + (5 + 2) i = 7 3i.

z2 z3 = (5 + 2i) (1 i) = 5 1 + 5 (i) + 2i 1 + 2i (i) = 5 5i + 2i 2i2 = (5 + 2) + (5 + 2) i = 7 3i.

Тригонометрична форма

Якщо записати комплекснi числа, використовуючи показникову функцiю з комплексним показником, можна множити комплекснi числа, використовуючи правила пiднесення до степеня.

Формула

Множення комплексних чисел, записаних в тригонометричнiй формi

Нехай z1 = r1ei𝜃1 та z2 = r2ei𝜃2 — це комплекснi числа, тодi

z1 z2 = r1ei𝜃1 r 2ei𝜃2 = (r1 r2) ei𝜃1+i𝜃2 = r1r2ei(𝜃1+𝜃2).

Щоб помножити комплекснi числа, записанi в тригонометричнiй формi, треба помножити норми та додати аргументи. Це можна зобразити на комплекснiй площинi:

Геометричне зображення множення комплексних чисел.

Множення комплексних чисел можна розглядати як обертання та масштабування на комплекснiй площинi. Наприклад, множення з уявною одиницею i вiдповiдає обертанню на 90° або π 2 радiани, оскiльки i має норму 1 та аргумент π 2.

Приклад 2

Знайди z3 = r3ei𝜃3 = z1 z2, якшо z1 = 2eiπ 3 та z2 = 4eiπ 6

Щоб знайти норму z3, потрiбно перемножити норми z1 i z2:

r3 = 2 4 = 8.

Щоб знайти аргумент z3, потрiбно додати аргументи z1 i z2:

𝜃3 = π 3 + π 6 = π 2.

Тодi добуток z3 становить:

z3 = 8eiπ2 = 8i.

Властивостi множення

Як i в разi дiйсних чисел для комплексних чисел також справджуються властивостi комутативностi, асоцiативностi та дистрибутивностi множення.

Правило

Комутативнiсть, асоцiативнiсть i дистрибутивнiсть

Для всiх комплексних чисел z1, z2 та z3 справджуються властивiсть комутативностi

z1 z2 = z2 z1,

асоцiативностi

(z1 z2) z3 = z1 (z2 z3) ,

i дистрибутивностi

z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3.

Комутативнiсть та асоцiативнiсть означають, що можна довiльно змiнювати порядок чисел i дужок, якщо обчислення складається лише з множення. Дистрибутивнiсть означає, що можна множити комплекснi числа, що знаходяться в дужках, i розкладати на множники комплекснi числа, що знаходяться в дужках.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!