Перетин дотичної площини зі сферою

Коли сфера перетинається з площиною, перетин можна описати як точку або як коло. У цiй статтi описується випадок, коли перетин вiдбувається в однiй точцi. Щоб дiзнатися про перетин по колу, клацни тут.

Якщо перетин мiж дотичною площиною та поверхнею сфери є точкою, ми називаємо цю точку точкою дотику. Щоб знайти її, виконуємо такi дiї:

Як бачимо, вектор, проведений вiд центра сфери до точки дотику, має бути перпендикулярним до дотичної площини, тому що кут мiж дотичною та прямою, проведеною з точки дотику до центру сфери, завжди дорiвнює 90°. А отже, цей вектор парелельний вектору нормалi до дотичної площини, i через точку дотику та центр сфери можна провести пряму з вектором нормалi як напрямним вектором. Щоб знайти точку дотику, шукаємо перетин мiж прямою та дотичною площиною.

Сфера, яку перетинає дотична площина

Приклад 1

Дано сферичну поверхню з центром у (1, 1, 2) i дотичну площину, задану рiвнянням

x + 2y = 0.

Знайди точку дотику.

Як бачимо, (1, 2, 0) — це вектор нормалi до площини. Це означає, що параметричне рiвняння для прямої, яка проходить через центр, iз вектором нормалi як напрямним вектором має вигляд

x (t) = 1 + t,y (t) = 1 + 2t,z (t) = 2.

x (t) = 1 + t,y (t) = 1 + 2t,z (t) = 2.

Пiдставляємо цi данi у рiвняння для знаходження дотичної площини. Отримуємо

(1 + t) + 2 (1 + 2t) = 0 3 + 5t = 0 t = 3 5.

Пiдставляємо це значення замiсть t у параметричному рiвняннi. Отримуємо

(1 + 3 5 , 1 + 2 3 5 , 2) = (2 5,1 5, 2) .

Ця точка є точкою перетину мiж прямою, що проходить через центр, i дотичною площиною, що також робить її точкою дотику.

Формула

Точка дотику сферичної поверхнi i площини

Точка дотику T, в якiй площина з вектором нормалi n перетинає сферу з радiусом r i центром C, задана виразом

OT = OC + r 1 |n| n.

Приклад 2

Вiд нас часто вимагатимуть показати, що площина дотична до сферичної поверхнi, i знайти точку дотику. Площина є дотичною до сферичної поверхнi, якщо вiдстань вiд центра c сфери до площини α дорiвнює радiусу сфери.

Скажiмо, в нас є сфера

(x 2) 2 + (y 1) 2 + z2 = 9

i площина

2x + y 2z + 4 = 0.

З рiвняння сфери бачимо, що радiус дорiвнює r = 9 = 3, а центр знаходиться в точцi (2, 1, 0). Щоб показати, що площина є дотичною до поверхнi сфери, використовуємо формулу вiдстанi мiж точкою та площиною, i перевiряємо, чи вiдповiдь дорiвнює радiусу сфери, який, як ми знаємо, дорiвнює 3:

|2 (2) + 1 1 2 (0) + 4| 22 + 12 + (2 ) 2 = |4 + 1 + 0 + 4| 9 = |9| 3 = 3

Щоб знайти точку дотику сферичної поверхнi та площини, виконуємо дiї, як у попередньому прикладi (Приклад 1). Також можна скористатися наведеною вище формулою для знаходження точки дотику сферичної поверхнi та площини.

Зверни увагу! В цьому випадку вектор нормалi може завести нас у хибному напрямку, i ми опинимося з протилежного боку сфери. Тому перевiряємо, чи лежить наша вiдповiдь у дотичнiй площинi. Якщо нi, то просто змiнюємо n на n.

Тодi радiус сфери та вiдстань мiж центром i площиною сфери будуть однаковими, а отже,

(2, 1, 0) + 31 3 (2, 1,2) = (4, 2,2) .

Пiдставляємо цi значення в рiвняння дотичної площини, щоб перевiрити, чи у правильному напрямку ми рухаємося. Отримуємо

2x + y 2z + 4 = 2 4 + 1 2 2 (2) + 4 = 8 + 2 + 4 + 4 = 18 0.

2x + y 2z + 4 = 2 4 + 1 2 2 (2) + 4 = 8 + 2 + 4 + 4 = 18 0.

Як бачимо, це не задовольняє рiвнянню площини, а це означає, що вектор нормалi скерував нас у хибному напрямку. Якщо змiнити знак перед вектором нормалi, то отримаємо

(2, 1, 0) 31 3 (2, 1,2) = (0, 0, 2) .

Пiдставляємо цi значення у рiвняння площини. Отримуємо

2x + y 2z + 4 = 2 0 + 0 2 2 + 4 = 4 + 4 = 0.

2x + y 2z + 4 = 2 0 + 0 2 2 + 4 = 4 + 4 = 0.

Тодi OT = (0, 0, 2).

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!