Коли сфера перетинається з площиною, перетин можна описати як точку або як коло. У цiй статтi описується випадок, коли перетин вiдбувається в однiй точцi. Щоб дiзнатися про перетин по колу, клацни тут.
Якщо перетин мiж дотичною площиною та поверхнею сфери є точкою, ми називаємо цю точку точкою дотику. Щоб знайти її, виконуємо такi дiї:
Як бачимо, вектор, проведений вiд центра сфери до точки дотику, має бути перпендикулярним до дотичної площини, тому що кут мiж дотичною та прямою, проведеною з точки дотику до центру сфери, завжди дорiвнює °. А отже, цей вектор парелельний вектору нормалi до дотичної площини, i через точку дотику та центр сфери можна провести пряму з вектором нормалi як напрямним вектором. Щоб знайти точку дотику, шукаємо перетин мiж прямою та дотичною площиною.
Приклад 1
Дано сферичну поверхню з центром у i дотичну площину, задану рiвнянням
Знайди точку дотику.
Як бачимо, — це вектор нормалi до площини. Це означає, що параметричне рiвняння для прямої, яка проходить через центр, iз вектором нормалi як напрямним вектором має вигляд
Пiдставляємо це значення замiсть у параметричному рiвняннi. Отримуємо
Ця точка є точкою перетину мiж прямою, що проходить через центр, i дотичною площиною, що також робить її точкою дотику.
Формула
Точка дотику , в якiй площина з вектором нормалi перетинає сферу з радiусом i центром , задана виразом
Приклад 2
Вiд нас часто вимагатимуть показати, що площина дотична до сферичної поверхнi, i знайти точку дотику. Площина є дотичною до сферичної поверхнi, якщо вiдстань вiд центра сфери до площини дорiвнює радiусу сфери.
Скажiмо, в нас є сфера
i площина
З рiвняння сфери бачимо, що радiус дорiвнює , а центр знаходиться в точцi . Щоб показати, що площина є дотичною до поверхнi сфери, використовуємо формулу вiдстанi мiж точкою та площиною, i перевiряємо, чи вiдповiдь дорiвнює радiусу сфери, який, як ми знаємо, дорiвнює :
Щоб знайти точку дотику сферичної поверхнi та площини, виконуємо дiї, як у попередньому прикладi (Приклад 1). Також можна скористатися наведеною вище формулою для знаходження точки дотику сферичної поверхнi та площини.
Зверни увагу! В цьому випадку вектор нормалi може завести нас у хибному напрямку, i ми опинимося з протилежного боку сфери. Тому перевiряємо, чи лежить наша вiдповiдь у дотичнiй площинi. Якщо нi, то просто змiнюємо на .
Тодi радiус сфери та вiдстань мiж центром i площиною сфери будуть однаковими, а отже,
Пiдставляємо цi значення в рiвняння дотичної площини, щоб перевiрити, чи у правильному напрямку ми рухаємося. Отримуємо
Пiдставляємо цi значення у рiвняння площини. Отримуємо