>Grunnleggende om funksjoner>Definisjonsmengde og verdimengde til funksjon

Definisjonsmengde og verdimengde til funksjon

Når du jobber med funksjoner har du ofte behov for å omtale $x$ -verdiene og $y$ -verdiene dine. I matematikken brukes ordene definisjonsmengde om den mengde $x$ -verdier som passer i oppgaven og verdimengde om den tilhørende mengden med $y$ -verdier. Formelt betegnes det som dette:

Teori

Definisjonsmengde og verdimengde

Mengden av alle $x$ -verdier som passer i en funksjon $f$ kalles definisjonsmengden til $f$ og skrives $D_{f}$ . Mengden av alle $y$ -verdier som er bestemt av $D_{f}$ kalles verdimengden til $f$ og skrives $V_{f}$ .

Dette er de vanligste eksemplene:

For lineære funksjoner vil verdimengden være alle reelle tall. Du skriver da $V_{f} = ℝ$ .
For andregradsfunksjoner vil verdimengden enten være alle tall fra bunnpunktet og oppover, eller alle tall fra toppunktet og nedover. Du skriver da enten $V_{f} = [a, \to ⟩$ eller $V_{f} = ⟨ \leftarrow, a]$ , der $a$ er $y$ -verdien til bunnpunktet eller toppunktet.

For rasjonale funksjoner på formen

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}

vil verdimengden være alle tall bortsett fra den $y$ -verdien der nevneren er null, det vil si den horisontale asymptoten. Du kan skrive det som

V_{f} = ℝ ∖ {\frac{a}{c}}

siden $\frac{a}{c}$ er den horisontale asymptoten.

Eksempel 1

Geir står på land og kaster en stein i vannet. Steinen følger en bane gitt ved funksjonen $f (x)$ , der $x$ er avstand i meter fra Geir til steinen i vannrett retning og $y$ er høyden steinen har i meter over vannet til enhver tid. Du får vite at høyden til steinen følger funksjonen

f (x) = - 0, 1 x^{2} + x + 2

Finn definisjonsmengden $D_{f}$ og verdimengden $V_{f}$ for funksjonen slik at kastet gir mening.

For å finne definisjonsmengden $D_{f}$ må du finne den minste og den største verdien $x$ kan ha. Du ser at $x$ må være større enn 0. Dersom du tillater at $x$ er mindre enn null vil Geir ende med å kaste steinen inn på land og det stemmer ikke overens med oppgaven. Du må nå finne den største verdien til $x$ . Kastet slutter når steinen treffer vannoverflaten og det skjer når $y = 0$ . Du må derfor løse likningen

f (x) = 0 .

Siden $f (x)$ er en andregradsfunksjon kan du bruke abc-formelen for å løse dette. Det vil gi løsningene $x_{1} = - 1, 71$ og $x_{2} = 11, 71$ . Siden definisjonsmengden starter på 0 kan du se bort fra $x_{1}$ , så steinen treffer vannet etter $11, 71$ meter. Definisjonsmengden er da

D_{f} = [0, 11, 71] .

For å finne verdimengden $V_{f}$ må du finne den minste og den største verdien $y$ kan ha ut ifra de $x$ -verdiene som du fant i $D_{f}$ . Den minste $y$ -verdien er når steinen treffer vannoverflaten. Dette skjer ved $y = 0$ , altså ved 0 meter over vannet. For å finne den største $y$ -verdien må du finne $y$ -verdien når steinen har størst avstand til vannoverflaten. Denne finner du ved å lese av $y$ -verdien i toppunktet til funksjonen. Dette kan du gjøre vet å tegne funksjonen eller ved å bruke derivasjon. Uansett hvilken metode du velger så er den største høyden steinen kan ha $4, 5$ m. Verdimengden er da

V_{f} = [0, 4, 5] .

Teori

Asymptoter, verdimengde og definisjonsmengde

En vertikal asymptote skjærer $x$ -aksen. Den matematiske måten å skrive en vertikal asymptote på er $x = a$ , hvor $a$ er tallet der den vertikale asymptoten skjærer $x$ -aksen. Definisjonsmengden for funksjonen vil da ikke inneholde $a$ .
En horisontal asymptote skjærer $y$ -aksen. Den matematiske måten å skrive en vertikal asymptote på er $y = a$ , hvor $a$ er tallet der den horisontale asymptoten skjærer $y$ -aksen. Verdimengden for funksjonen vil da ikke inneholde $a$ .

Eksempel 2

Finn definisjonsmengden og verdimengden til $f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$

Du finner definisjonsmengden $D_{f}$ ved å se på de $x$ -verdiene der funksjonen gir mening, det vil si der du kan sette inn en $x$ -verdi og få et svar. Du vet at du ikke kan ha null i nevneren av en brøk. Dermed finnes ikke funksjonen for den $x$ -verdien som gjør at nevneren blir 0. Dermed får du

x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1

Definisjonsmengden blir dermed: Alle verdier av $x$ foruten $x$ -verdien til den vertikale asymptoten, i dette tilfellet $x = 1$ . Dette skriver du matematisk

D_{f} = ℝ ∖ {1} .

Du finner verdimengden $V_{f}$ ved å finne den horisontale asymptoten. Det vil si, verdimengden er alle verdiene foruten den horisontale asymptoten. Siden dette er funksjonsuttrykket til en hyperbel (det ser du av funksjonsuttrykket), finner du den horisontale asymptoten ved hjelp av formelen

y = \frac{a}{c} .

Da får du som følger

y = \frac{2}{1} = 2 .

Verdimengden blir dermed: Alle verdier av $y$ foruten $y$ -verdien til den horisontale asymptoten, i dette tilfellet $y = 2$ . Dette skriver du matematisk

V_{f} = ℝ ∖ {2} .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Å finne x- og y-verdier

Neste oppslag

Skjæringspunkter

Tilbake